1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P10]
1.1.問題101.1.P10 次の例について詳細を示しなさい。この例は、無限次元の複素ベクトル空間上の線形作用素が固有値を持たない場合があることを示しています。 \( V = \{ (a_1, a_2, \dots) : a_i \in ...
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1.固有値・固有ベクトル・相似 1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P9]
1.1.問題91.1.P9 定義 (1.1.3) を用いて、次の実行列 \( A \) が実数の固有値を持たないことを示しなさい。 A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} しかし、...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P8]
1.1.問題81.1.P8 「定理 1.1.9」の議論を使って「すべての正方実行列が実固有値を持つ」ことを示そうとした場合、この議論がなぜ成り立たないのかを説明しなさい。 定理 1.1.9 \( A \in M_n \) が与えられていると...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P7]
1.1.問題7問題 1.1.P7 \( A \in M_n \) がエルミート行列（Hermitian）であるとき、\( A \) のすべての固有値が実数であることを示しなさい。 エルミート行列とは、複素共役転置をとっても変わらない行列、す...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P6]
1.1.問題6次のことを示します。任意の冪零（nilpotent）行列のすべての固有値は 0 であること。また、零行列ではない冪零行列の例を示します。さらに、0 が唯一の冪零かつ冪等（idempotent）な行列である理由を説明します。解答...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P5]
1.1.問題5\( A \in M_n \) が冪等（idempotent）である、すなわち \( A^2 = A \) であるとします。このとき、\( A \) の各固有値は 0 または 1 のいずれかであることを示しなさい。また、単位行...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P4]
1.1.問題41.1.P4 次のブロック対角行列を考える。 \( A = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \)、ただし \( A_{ii} \in M_{n_i}...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P3]問題3
1.1.P3\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。\( \lambda \) が \( A \) の実固有値であり、\( Ax = \lambda x \)、\( x \in \mathbb{C}^n \)、\( ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P2]問題2
1.1.問題2\( A \in M_n \) を与える。 (a) 各行の要素の和が1であることは、\( 1 \in \sigma(A) \) かつベクトル \( e = ^T \) が対応する固有ベクトル、すなわち \( Ae = e \)...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P1]問題1
1.1.問題1\( A \in M_n \) が正則（逆行列を持つ）と仮定する。(1.1.7)によれば、これは \( 0 \notin \sigma(A) \) と同値である。任意の \( \lambda \in \sigma(A) \) ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.9]定理 1.1.9.
定理 1.1.9. 任意の \( A \in M_n \) に対して、\( A \) は固有値を持つ。実際、与えられた非零ベクトル \( y \in \mathbb{C}^n \) について、次数が高々 \( n - 1 \) の多項式 \...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.8]観察
観察 1.1.8. \( A \in M_n \) と \( \lambda, \mu \in \mathbb{C} \) を任意に与える。このとき、\( \lambda \in \sigma(A) \) であることと、\( \lambda...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.7]観察
観察1.1.7行列 \( A \in M_n \) は特異行列であることと、\( 0 \in \sigma(A) \) であることは同値である。 証明．行列 \( A \) が特異であるとは、ある \( x \neq 0 \) に対して \...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.6]定理1.1.6（固有値–固有ベクトル）
定理 1.1.6 \( p(t) \) を次数 \( k \) の多項式とする。もし \( \lambda, x \) が \( A \in M_n \) の固有値–固有ベクトルの組であれば、\( p(\lambda), x \) は \(...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.4]定義（スペクトル）
定義 1.1.4. \( A \in M_n \) の スペクトルとは、\( A \) の固有値となるすべての \(\lambda \in \mathbb{C}\) の集合であり、この集合を \(\sigma(A)\) で表す。与えられた ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.2]定義（固有値・固有ベクトル）
定義（固有値・固有ベクトル）定義 1.1.2. \( A \in M_n \) とする。もしスカラー \( \lambda \) とゼロでないベクトル \( x \) が次の式を満たすとき、(1.1.3) A x = \lambda x, ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1]固有値–固有ベクトル方程式
1.1 固有値–固有ベクトル方程式行列 \( A \in M_n \) は、\( \mathbb{C}^n \) から \( \mathbb{C}^n \) への線形変換として考えることができます。すなわち、(1.1.1) A : x \ ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.0.P2]対象行列の最大の実固有値
対象行列の最大の実固有値1.0.P2\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が対称行列であるとする。このとき、 \max \{ x^{T} A x : x \in \mathbb{R}^n, x^{T} x = 1 \} が...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.0.P1]実対称行列が少なくとも1つの実固有値を持つ
問題1.0.P1 ワイエルシュトラスの定理（付録E参照）を用いて、制約付き極値問題（1.0.3）が解を持つ理由を説明し、任意の実対称行列が少なくとも1つの実固有値を持つことを結論づけなさい。(1.0.3)\text{maximize } x...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.0.2]制約付き極値と固有値
1.0.2 制約付き極値と固有値本章で取り上げるもう一つの重要な概念は、固有ベクトルと固有値の考え方です。\( Ax \) が \( x \) のスカラー倍となるようなゼロでないベクトル \( x \) は、行列や線形変換の構造を解析するう...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.0.1]基底の変換と相似
1.0.1 基底の変換と相似すべての可逆行列は基底変換行列であり、またすべての基底変換行列は可逆である（0.10）。 したがって、もし \( B \) がベクトル空間 \( V \) のある基底で、\( T \) が \( V \) 上の線...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.0]序論
1.0 序論各章の冒頭では、その章で扱う主要なテーマについて、概念的または応用的にどのように現れるかを示す例を用いて動機付けを行います。本書全体を通して、第0章で導入した記法と用語を使用します。読者は、知らない用語が出てきた場合には索引を参...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1]固有値・固有ベクトルと相似
目次1.0. はじめに1.1. 固有値-固有ベクトル方程式1.2. 特性多項式と代数的重複度1.3. 相似性1.4. 左固有ベクトルと右固有ベクトル、そして幾何学的重複度
0.行列基礎 [行列解析0.11]同値関係
0.11 同値関係集合 \( S \) と、その部分集合 \(\mathrel{R} \subseteq S \times S = \{(a,b) : a \in S, b \in S\}\) を考えます。このとき、\(\mathrel{R...
0.行列基礎 [行列解析0.10]基底の変換
0.10 基底の変換ベクトル空間 \( V \) を体 \( F \) 上の \( n \) 次元ベクトル空間とします。そして、リスト \( B_1 = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} \) が \( V \) の基底で...
0.行列基礎 [行列解析0.9.13]反転行列、冪零行列、射影行列、共反転行列
0.9.13 反転行列、冪零行列、射影行列、共反転行列行列 \( A \in M_n(F) \) が次のいずれかの性質を持つ場合、それぞれ次のように呼ばれます：反転行列（involution）：\( A^2 = I \)、すなわち \( A...
0.行列基礎 [行列解析0.9.12]コーシー行列
0.9.12 コーシー行列 コーシー行列 \( A \in M_n(F) \) は、以下のような形式の行列です： A = \left_{i,j=1}^n ここで、\( a_1, \ldots, a_n \)、\( b_1, \ldots, ...
0.行列基礎 [行列解析0.9.11]バンデルモンド行列とラグランジュ補間
0.9.11 バンデルモンド行列とラグランジュ補間バンデルモンド行列 \( A \in M_n(F) \) は、次の形式を持ちます：A =\begin{bmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}...
0.行列基礎 [行列解析0.9.10]三重対角行列・双対角行列・その他の構造付き行列
0.9.10 三重対角行列・双対角行列・その他の構造付き行列行列 \( A = \in M_n(F) \) が上ヘッセンベルクかつ下ヘッセンベルクであるとき、三重対角行列（tridiagonal matrix）と呼ばれます。すなわち、すべて...
0.行列基礎 [行列解析0.9.9]ヘッセンベルク行列
0.9.9 ヘッセンベルク行列行列 \( A = \in M_n(F) \) が、すべての \( i > j + 1 \) に対して \( a_{ij} = 0 \) を満たすとき、上ヘッセンベルク形あるいは上ヘッセンベルク行列であると言い...