行列 [行列解析0.1]ベクトル空間
0.1 ベクトル空間有限次元ベクトル空間は、行列解析の基本的な枠組みです。0.1.1 スカラー体0.1.2 ベクトル空間0.1.3 部分空間、スパン、線形結合0.1.4 線形従属と線形独立0.1.5 基底0.1.6 基底への拡張0.1.7 ...
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行列 [行列解析0.0]はじめに
0.1 はじめにこの最初の章では、本書の残りの部分の基礎となる多くの有用な概念と事実を要約します。これらの内容の一部は、典型的な線形代数の初等コースで扱われる内容ですが、本書では、後続の説明には登場しない追加の有用な項目についても取り上げま...
行列 [行列解析0]復習と雑学
0.復習と雑学この最初の章では、本書の残りの部分の基礎となる、多くの有用な概念と事実をまとめています。この内容の一部は、線形代数の一般的な初級コースに含まれていますが、以降の説明では取り上げない追加の有用な項目も含まれています。読者は、第 ...
行列解析 [行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
行列 メモ：セミョーン・アラーノヴィチ・ゲルシュゴリン
Semyon Aranovich Gershgorinセミョーン・アラーノヴィチ・ゲルシュゴリン(Шимон Аронович Герцензон)生誕：1901年8月24日 ロシア帝国プルジャニ（現ベラルーシ） 死去： 1933年5月30...
行列 線形代数の基礎：基底変換と固有値の理解
1.0 はじめに1.0.1 基底の変換と相似すべての可逆行列は基底変換行列であり、またすべての基底変換行列は可逆です。したがって、あるベクトル空間 \( V \) の基底 \( B \) と、\( V \) 上の線形変換 \( T \) が...
行列 2行2列行列の固有値と固有ベクトルの公式
下記の2行2列の行列について、固有値と固有ベクトルを求めた結果をまとめておきます。\(\displaystyle \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}\)ここで\(a,b,c,d\)は実数または複素数で...
行列 ブロック行列の状態で逆行列を計算する（証明あり）
行列を解析するときに、めちゃくちゃ必要になる知識がブロック行列の計算です。行列を、列ベクトルが並んだもの、行ベクトルが並んだものとみなすのはもちろん、１列目や１行目を特別視する時にはブロック行列で考えていることになっているからです。また行列...
不等式 本当は難しくないムーアヘッドの不等式
ムーアヘッド(Muirhead)の不等式は、調和のとれた不等式で、ある意味相加相乗平均の不等式の一般化といえる不等式です。ムーアヘッドの不等式の具体例ムーアヘッドの不等式がどういうものかは、具体例を見た方が実にわかりやすいです。一般形をみる...
拡張不等式 完全拡張不等式
一般的に拡張不等式は、完全ではありません。すなわち、複素数α、β、θ（θ≠0）に対して、\(α <_θ β\)\(α = β\)\(α >_θ β\)のいずれの関係も満たさない場合（すなわち比較不可能な場合）があります。完全拡張不等式複素数...
拡張不等式 拡張不等式の定義とその性質
一般に不等式は実数の大小を記述するものであり、複素数に対して不等式が適用されることはほとんどありません。しかし、拡複素数でも使用できる不等式があります。それは複素素数でも使用できるように不等式の仕様を拡張した不等式のことで拡張不等式と呼ばれ...
不等式 am-gm不等式の初等的な証明
AM-GM不等式の証明は山のようにありますが、ここでは内田康晴さんが２００８年に論文で発表した証明方法を簡単に紹介します。２００８年に論文で発表された証明方法2変数ならともかく、\(n\)変数のAM-GM不等式の証明は意外に手こずります。そ...
不等式 AM-GM不等式と同等の不等式
AM-GM不等式(相加平均と相乗平均に関する不等式)の一般系は次の形で表されます。\(n個の実数、a_1,a_2,\cdots,a_n>0\)について、\(\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}...
不等式 AM-GM不等式
最も美しい不等式といえば、AM-GM不等式でしょう。\(a,b>0\)とすると\\(a_1,a_2,\cdots,a_n>0\)とすると\{a_1 a_2 \cdots a_n}≦\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\]...