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2.5.問題522.5.P52 \( A, B \in M_n \) を非特異行列とする。行列 \( C = ABA^{-1}B^{-1} \) を \( A \) と \( B \) の乗法的交換子（multiplicative comm...

2.5.問題512.5.P51 \( A \in M_n \) を正規行列とし、スペクトル分解 \( A = U \Lambda U^* \) を考える。ただし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \l...

2.5.問題502.5.P50 反転行列 \( K_n \) (0.9.5.1) は実対称である。(0.9.5.1)K_n =\begin{bmatrix}0 & \cdots & 0 & 1 \\0 & \cdots & 1 & 0 \\...

2.5.問題492.5.P49 \( A \in M_n \) が上三角で対角化可能であると仮定する。このとき、上三角行列による相似変換によって対角化できることを示せ。

2.5.問題482.5.P48 \( A \in M_n \) が正規行列で \(\mathrm{rank}(A) = r > 0\) とする。(2.5.3) を用いて \( A = U \Lambda U^* \) と書ける。ただし \(...

2.5.問題472.5.P47 \( A \in M_n \) が正規行列で、固有値が \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) であるとする。このとき次を示せ: (a) \(\mathrm{adj}(A)\) は正...

2.5.問題462.5.P46 (2.3.1) を用いて、実行列の非実固有値は必ず複素共役のペアで現れることを示せ。

2.5.問題452.5.P45 \( N \subseteq M_n(\mathbb{R}) \) を可換な実対称行列族とする。このとき、単一の実直交行列 \( Q \) が存在して、すべての \( A \in N \) に対して \( Q...

2.5.問題442.5.P44 (a) \( A \in M_n \) がエルミート行列であることと \(\mathrm{tr}(A^2) = \mathrm{tr}(A^*A)\) が同値であることを示せ。(b) エルミート行列 \( A...

2.5.問題432.5.P43 \( A = \in M_n \) を正規行列とする。(a) \( A = _{i,j=1}^k \) と分割し、各 \( A_{ii} \) は正方行列とする。もし \( A \) の固有値が \( A_{...

2.5.問題422.5.P42 \( A, B \in M_n \) とし、\(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) を \( A \) の固有値とする。次で定義される量 \delta(A) = \mathrm{tr...

2.5.問題412.5.P41 \( z \in \mathbb{C}^n \) を非零ベクトルとし、\( z = x + iy \) と書く。ただし \( x, y \in \mathbb{R}^n \) である。(a) 次の3つの命題が...

2.5.問題402.5.P40 \( A = \begin{bmatrix}0 & B \\ 0 & 0\end{bmatrix} \in M_4 \)、ただし \( B = \begin{bmatrix}1 & i \\ -i & 1\e...

2.5.問題392.5.P39 \(U \in M_{n}\) がユニタリとする。このときすべての固有値の絶対値は1である。(a) \(U\) が対称なら、その固有値は (2.5.19.1) の表現を（対角成分の順列を除いて）一意に定めるこ...

2.5.問題382.5.P38 \(A = \in M_{n}\)、\(C = AA^{*} - A^{*}A\) とする。 (a) \(C\) がエルミートである理由と、\(C\) が零行列と同値に冪零である理由を説明せよ。 (b) \(...

2.5.問題372.5.P37 \(n \geq 2\) とし、 A = \begin{bmatrix} a & x^{*} \\ y & B \end{bmatrix} \in M_{n}, ただし \(B \in M_{n-1}, x,...

2.5.問題362.5.P36 任意の \(A \in M_{n}\) に対して、 \begin{bmatrix} A & A^{*} \\ A^{*} & A \end{bmatrix} \in M_{2n} が正規であることを示せ。した...

2.5.問題352.5.P35 零でないベクトル \(x, y \in \mathbb{C}^{n}\) を考える。 (a) \(xx^{*} = yy^{*}\) であることと、ある実数 \(\theta\) が存在して \(x = e^...

2.5.問題342.5.P34 \(A \in M_{n}\)、零でないベクトル \(x \in \mathbb{C}^{n}\) を考える。もし \(x\) が \(A\) の右固有ベクトルかつ左固有ベクトルであるとき、\(x\) を \...

2.5.問題332.5.P33 \(F \subseteq M_{n}\) が可換な正規行列族であるとする。このとき1つのエルミート行列 \(B\) が存在し、各 \(A_{\alpha} \in F\) に対して次数高々 \(n-1\) ...

2.5.問題322.5.P32 実直交行列 \(A \in M_{3}(\mathbb{R})\) を考える。このとき \(A\) は1つまたは3つの実固有値をもつ。もし \(\det(A) \gt 0\) なら、(2.5.11) を用いて...

2.5.問題312.5.P31 実正規行列 \(A \in M_{n}(\mathbb{R})\)、すなわち \(AA^{T} = A^{T}A\) とする。もし \(AA^{T}\) が \(n\) 個の異なる固有値をもつなら、\(A\)...

2.5.問題305.P30 任意の \(A \in M_{n}\) に対して、すべての \(x, y \in \mathbb{C}^{n}\) について次が成り立つことと \(A\) が正規であることは同値であることを示せ： (Ax)^{*...

2.5.問題292.5.P29 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_{2}\) とし、\(bc \neq 0\) と仮定する。 (a) \(A\) が正規であるこ...

2.5.問題282.5.P28 エルミート行列 \(A, B \in M_{n}\) が与えられ、\(AB\) が正規であると仮定する。 (a) なぜ \(BA\) も正規なのかを説明せよ。 (b) \(A\) が \(B^{2}\) と可...

2.5.問題272.5.P27 (a) \(A, B \in M_{n,m}\) とする。もし \(AB^{*}\) と \(B^{*}A\) がともに正規なら、\(BA^{*}A = AA^{*}B\) であることを示せ。(b) \(A ...

2.5.問題262.5.P26 \(A \in M_{n}\) が与えられたとする。(a) ある多項式 \(p(t)\) が存在して \(A^{*} = p(A)\) ならば、\(A\) は正規であることを示せ。(b) \(A\) が正規な...

2.5.問題252.5.P25 \(A \in M_{n}, B \in M_{m}\) が正規であり、\(X \in M_{n,m}\) が与えられたとする。このとき \(\overline{B}\) が正規である理由を説明し、次が成り立...

2.5.問題242.5.P24 \(A \in M_{n}\) が正規かつ冪零ならば、\(A = 0\) であることを示せ。

2.5.問題232.5.P23 次の2つの行列はどちらも対称であるが、一方は正規であり他方は正規ではないことを示せ。これは実対称行列と複素対称行列の重要な違いである。 \begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{...