8.正および非負行列 [行列解析8.3.2]定理：非負行列に対するスペクトル半径の下界
8.3.2 定理：非負行列に対するスペクトル半径の下界定理 8.3.2 \( A \in M_n \) を非負行列とし、\( x \in \mathbb{R}^n \) を非負で零でないベクトルとする。もし \( \alpha \in \m...
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8.正および非負行列 8.正および非負行列 [行列解析8.3.1]定理：非負行列のペロン固有値と固有ベクトルの存在
8.3.1 定理：非負行列のペロン固有値と固有ベクトルの存在定理 8.3.1 もし \( A \in M_n \) が非負行列であるならば、\( \rho(A) \) は \( A \) の固有値であり、次を満たす非負で零でないベクトル \...
8.正および非負行列 [行列解析8.3]非負行列
目次8.3.1 定理：非負行列のペロン固有値と固有ベクトルの存在8.3.2 定理：非負行列に対するスペクトル半径の下界8.3.3 系：非負行列のスペクトル半径の「min–max」表現8.3.4 定理：正の固有ベクトルをもつ非負行列のスペクト...
8.正および非負行列 [行列解析8.2]注記
参考文献固有値の比 \( |\lambda_{n-1}| / \rho(A) \) に対する多様な上界（式 (8.2.11) を含む）については、以下を参照のこと：U. Rothblum and C. Tan, “Upper bounds ...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P16]
8.2.問題168.2.P16\( A \in M_n \) が正の行列であり、\( x \in \mathbb{R}^n \) が \( A \) の非負で零でない固有ベクトルであるとする。このとき、(1.4.P6)および双直交性の原理に...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P15]
8.2.問題158.2.P15\( A, B \in M_n(\mathbb{R}) \) とし、\( 0 \le A \le B \) だが \( A \ne B \) と仮定する。すなわち、\( A \) のある非負成分が対応する \(...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P14]
8.2.問題148.2.P14\( A \in M_n \) を正の行列とする。このとき次を説明せよ。 (a) \( \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) \) は正の行列である。 (b) その各列は \( A \) のペロ...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P13]
8.2.問題138.2.P13\( A \in M_n \) を正の行列とする。このとき、次が成り立つことを示せ。\rho(A) = \lim_{m \to \infty} (\mathrm{tr}\, A^m)^{1/m}
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P12]
8.2.問題128.2.P12正の行列 \( A \in M_n \) のスペクトル半径が代数的重複度1の固有値であることを、次の手順で示せ。 (a) \( D^{-1}AD = B \) と定義すると、\( B \) は正の行列であり \...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P11]
8.2.問題118.2.P11\( A \in M_n \) を正の行列とし、そのスペクトル半径を \( \rho(A) \)、ペロンベクトルを \( x = \)、左ペロンベクトルを \( y \) とする。すなわち、\( Ax = \r...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P10]
8.2.問題108.2.P10\( A = \in M_n \) が正かつ対称であり、ちょうど1つの正の固有値をもつとする。このとき、すべての \( i, j = 1, \ldots, n \) に対して次が成り立つことを示せ。a_{ij}...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P9]
8.2.問題98.2.P9\( A \in M_n \) を正の行列、\( x = \) をそのペロンベクトルとする。(a) もし \( \min_i \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \rho(A) \) または \( \m...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P8]
8.2.問題88.2.P8\( A \in M_n \) が正の行列であるとし、\( x, y \) をペロンベクトルとは限らない正のベクトルで \( Ax = \rho(A)x \)、および \( A^T y = \rho(A)y \) ...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P7]
8.2.問題78.2.P7\( n \ge 2 \) とし、\( A \in M_n \) を正則行列とする。(a) もし \( A \) が正の行列であるなら、\( A^{-1} \) が非負行列にはなりえないことを示せ。(b) もし \...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P6]
8.2.問題68.2.P6もし \( A \in M_n \) が正の行列であり、\( x = \) がそのペロンベクトルであるならば、次が成り立つことを説明せよ。\rho(A) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} x_j
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P5]
8.2.問題58.2.P5\( A, B \in M_n \) であり、\( A > B > 0 \) が成り立つと仮定する。「min-max」表現 (8.2.2a) を用いて、\( \rho(A) > \rho(B) \) を示せ。
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P4]
8.2.問題48.2.P4(8.0) で述べられた、\( n > 2 \) 都市を持つ一般的な都市間移動モデルを考える。もしすべての移動係数 \( a_{ij} \) が正であるなら、\( m \to \infty \) のとき人口分布 \...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P3]
8.2.問題38.2.P3対角化可能性に関する仮定を設けない本節の結果を、次の行列に適用せよ。A = \begin{bmatrix}1 - \alpha & \beta \\\alpha & 1 - \beta\end{bmatrix} \...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P2]
8.2.問題28.2.P2(6.1.8) の直後の演習では、2×2の正の行列を扱っている。この演習を (8.2.2) の直後の演習と照らし合わせて考察せよ。
8.正および非負行列 [行列解析8.2.P1]
8.2.問題18.2.P1もし \( A \in M_n \) が正の行列であるならば、\( m \to \infty \) のとき \( A^m \) の漸近的挙動を詳細に述べよ。
8.正および非負行列 [行列解析8.2]問題集
8.2.問題集以下の問題は、ペロンの定理（定理 8.2.8）および本節で導かれた結果を応用して、正の行列や関連モデルの漸近的性質を理解するための演習である。正の行列に関するペロン・フロベニウス理論を中心に、その逆行列の符号構造、固有値の性質...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.9]定理（ファンの定理）：スペクトル半径による固有値包含領域
8.2.9 ファンの定理とスペクトル半径による固有値包含領域次に示すのは、行列の固有値がどの範囲に存在するかを評価する「ファン（Ky Fan）の定理」である。この定理は、ペロンの定理の結果を応用して導かれる。定理 8.2.9（ファンの定理）...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.8]定理（ペロンの定理）：正行列のスペクトル半径と固有構造
8.2.8 定理（ペロンの定理）正行列のスペクトル半径と固有構造\( A \in M_n \) が正行列であるとする。このとき、次の性質が成り立つ。(a) \( \rho(A) \gt 0 \)(b) \( \rho(A) \) は \( ...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.7]定理：正行列のペロン根の代数的重複度と極限性質
8.2.7 定理：正行列のペロン根の代数的重複度と極限性質\( A \in M_n \) が正であるとする。このとき、\( A \) の固有値としてのスペクトル半径 \( \rho(A) \) の代数的重複度は 1 である。 さらに、もし ...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.6]系：ペロンベクトルとペロン根
8.2.6 系：ペロンベクトルとペロン根\( A \in M_n \) が正であるとする。このとき、次の条件を満たす唯一のベクトル \( x = \in \mathbb{C}^n \) が存在する：A x = \rho(A) x, \qua...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.5]定理：正行列の最大固有値の幾何的重複度
8.2.5 定理：正行列の最大固有値の幾何的重複度行列 \( A \in M_n \) が正であるならば、そのスペクトル半径 \( \rho(A) \) を固有値としてもつときの幾何的重複度は 1 である。証明\( w, z \in \ma...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.4]定理：正の行列における固有値の絶対値の最大性
8.2.4 定理：正の行列における固有値の絶対値の最大性\( A \in M_n \) が正の行列であるとする。もし \( \lambda \) が \( A \) の固有値であり、かつ \( \lambda \neq \rho(A) \)...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.3]補題：正の行列に対する固有ベクトルの位相調整
8.2.3 補題：正の行列に対する固有ベクトルの位相調整\( A \in M_n \) が正の行列であるとする。もし \( \lambda, x \) が \( A \) の固有ペアであり、かつ \( |\lambda| = \rho(A)...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.2]定理：正の行列に対する固有ベクトルの存在
8.2.2 定理：正の行列に対する固有ベクトルの存在\( A \in M_n \) が正の行列であるとき、次を満たす正のベクトル \( x \) および \( y \) が存在する：A x = \rho(A)x \quad \text{かつ...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.1]補題：正の行列に関する基本的性質
8.2.1 補題：正の行列に関する基本的性質\( A \in M_n \) を正の行列とする。もし \( \lambda, x \) が \( A \) の固有値・固有ベクトルの組（固有ペア）であり、かつ \( |\lambda| = \r...