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8.3.問題28.3.P2\( A \in M_n \) が非負行列であり、ある \( k \ge 1 \) に対して \( A^k \) が正の要素をもつ行列（すなわち正行列）であるとする。このとき、\( A \) は正の固有ベクトルをも...

8.3.問題18.3.P1次のことを例によって示せ。（8.2.11）の項目のうち（8.3.1）に含まれないものは、すべての非負行列について一般には成立しない。8.2.11\frac{|\lambda_{n-1}|}{\rho(A)} \le...

8.3.問題集この節では、非負行列に関するペロン・フロベニウスの性質や既存の定理（8.2.11, 8.3.1など）に関連するいくつかの演習問題を扱う。以下の問題を通して、非負行列の固有値・固有ベクトルに関する理論の限界や成立条件を確認する。...

目次8.3.1　定理：非負行列のペロン固有値と固有ベクトルの存在8.3.2　定理：非負行列に対するスペクトル半径の下界8.3.3　系：非負行列のスペクトル半径の「min–max」表現8.3.4　定理：正の固有ベクトルをもつ非負行列のスペクト...

参考文献固有値の比 \( |\lambda_{n-1}| / \rho(A) \) に対する多様な上界（式 (8.2.11) を含む）については、以下を参照のこと：U. Rothblum and C. Tan, “Upper bounds ...

8.2.問題168.2.P16\( A \in M_n \) が正の行列であり、\( x \in \mathbb{R}^n \) が \( A \) の非負で零でない固有ベクトルであるとする。このとき、(1.4.P6)および双直交性の原理に...

8.2.問題158.2.P15\( A, B \in M_n(\mathbb{R}) \) とし、\( 0 \le A \le B \) だが \( A \ne B \) と仮定する。すなわち、\( A \) のある非負成分が対応する \(...

8.2.問題148.2.P14\( A \in M_n \) を正の行列とする。このとき次を説明せよ。 (a) \( \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) \) は正の行列である。 (b) その各列は \( A \) のペロ...

8.2.問題138.2.P13\( A \in M_n \) を正の行列とする。このとき、次が成り立つことを示せ。\rho(A) = \lim_{m \to \infty} (\mathrm{tr}\, A^m)^{1/m}

8.2.問題128.2.P12正の行列 \( A \in M_n \) のスペクトル半径が代数的重複度1の固有値であることを、次の手順で示せ。 (a) \( D^{-1}AD = B \) と定義すると、\( B \) は正の行列であり \...

8.2.問題118.2.P11\( A \in M_n \) を正の行列とし、そのスペクトル半径を \( \rho(A) \)、ペロンベクトルを \( x = \)、左ペロンベクトルを \( y \) とする。すなわち、\( Ax = \r...

8.2.問題108.2.P10\( A = \in M_n \) が正かつ対称であり、ちょうど1つの正の固有値をもつとする。このとき、すべての \( i, j = 1, \ldots, n \) に対して次が成り立つことを示せ。a_{ij}...

8.2.問題98.2.P9\( A \in M_n \) を正の行列、\( x = \) をそのペロンベクトルとする。(a) もし \( \min_i \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \rho(A) \) または \( \m...

8.2.問題88.2.P8\( A \in M_n \) が正の行列であるとし、\( x, y \) をペロンベクトルとは限らない正のベクトルで \( Ax = \rho(A)x \)、および \( A^T y = \rho(A)y \) ...

8.2.問題78.2.P7\( n \ge 2 \) とし、\( A \in M_n \) を正則行列とする。(a) もし \( A \) が正の行列であるなら、\( A^{-1} \) が非負行列にはなりえないことを示せ。(b) もし \...

8.2.問題68.2.P6もし \( A \in M_n \) が正の行列であり、\( x = \) がそのペロンベクトルであるならば、次が成り立つことを説明せよ。\rho(A) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} x_j

8.2.問題58.2.P5\( A, B \in M_n \) であり、\( A > B > 0 \) が成り立つと仮定する。「min-max」表現 (8.2.2a) を用いて、\( \rho(A) > \rho(B) \) を示せ。

8.2.問題48.2.P4(8.0) で述べられた、\( n > 2 \) 都市を持つ一般的な都市間移動モデルを考える。もしすべての移動係数 \( a_{ij} \) が正であるなら、\( m \to \infty \) のとき人口分布 \...

8.2.問題38.2.P3対角化可能性に関する仮定を設けない本節の結果を、次の行列に適用せよ。A = \begin{bmatrix}1 - \alpha & \beta \\\alpha & 1 - \beta\end{bmatrix} \...

8.2.問題28.2.P2(6.1.8) の直後の演習では、2×2の正の行列を扱っている。この演習を (8.2.2) の直後の演習と照らし合わせて考察せよ。

8.2.問題18.2.P1もし \( A \in M_n \) が正の行列であるならば、\( m \to \infty \) のとき \( A^m \) の漸近的挙動を詳細に述べよ。

8.2.問題集以下の問題は、ペロンの定理（定理 8.2.8）および本節で導かれた結果を応用して、正の行列や関連モデルの漸近的性質を理解するための演習である。正の行列に関するペロン・フロベニウス理論を中心に、その逆行列の符号構造、固有値の性質...