saikorodeka

2.6.問題322.6.P32\(A \in M_n\) とし、\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^T & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}とする。もし \(\sigma_1, \ldots, \sig...

2.6.問題312.6.P31\(A \in M_{m,n}\) とする。(a) 特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を用いて、エルミート行列\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^* & 0 \end{pm...

2.6.問題302.6.P30特異値分解を用いて、複素行列に対する (0.4.6(f)) を確認せよ：\(A \in M_{m,n}\) のランクが r であることは、非特異行列 \(S \in M_m\) および \(T \in M_n\...

2.6.問題292.6.P29\(x \in \mathbb{C}^n\) が \(A \in M_n\) の正規固有ベクトルであり、対応する固有値を \(\lambda\) とするとき、\(|\lambda|\) が \(A\) の特異値...

2.6.問題282.6.P28\(A \in M_n\) が EP 行列であるとは、\(\mathrm{range}(A)\) と \(\mathrm{range}(A^*)\) が同じであることを意味する。すべての正規行列は EP 行列で...

2.6.問題272.6.P27\(A \in M_n\) が斜対称行列であるとする。もし \(\mathrm{rank}(A) \le 1\) なら、なぜ \(A = 0\) となるか説明せよ。

2.6.問題262.6.P26\(A \in M_n\)、\(\mathrm{rank}(A) = r \lt n\) とし、(2.6.9) の表現を考える。(a) \(A\) が正規であることと、\(L = 0\) かつ \(\Sigma...

2.6.問題252.6.P25 \(A \in M_n\) で、\(\mathrm{rank}(A) = r \lt n\) とする。正の特異値 \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0\) を \(\S...

2.6.問題242.6.P24\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ共役自己消滅 (conjugate self-annihilating) すなわち \(A \...

2.6.問題232.6.P23\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ自己消滅 (self-annihilating)、すなわち \(A^2 = 0\) であるとす...

2.6.問題222.6.P22\(A, B \in M_n\) が対称行列であるとする。(a) \(A \bar B\) がエルミートであることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\...

2.6.問題212.6.P21\(A, B \in M_n\) が対称行列であるとする。\(A \bar B\) が正規であることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\)、\(B =...

2.6.問題202.6.P20\(A \in M_n\) が対称行列であるとする。もし \(A\) が正則の場合、特別な特異値分解 (2.6.6(a)) が知られている。この分解が \(A\) が特異行列であっても有効であることを示すための...

2.6.問題192.6.P19\(U = \begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{pmatrix} \in M_{k+\ell}\) をユニタリ行列とし、\(U_{11...

2.6.問題182.6.P18 \(A \in M_n\) が射影行列で、\(\mathrm{rank}(A) = r\) とする。(a) \(A\) がユニタリ合同で\begin{pmatrix} I_r & X \\ 0 & 0_{n-...

2.6.問題172.6.P17\(A \in M_{n,m}\) を与える。特異値分解を用いて、\(\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(AA^*) = \mathrm{rank}(A^*A)\) が成り立つこと...

2.6.問題162.6.P16\(U, V \in M_n\) がユニタリである。(a) 常にユニタリ行列 \(X, Y \in M_n\) と対角ユニタリ \(D \in M_n\) が存在して \(U = X D Y\)、\(V = Y...

2.6.問題152.6.P15\(A = \in M_n\) の固有値を \(|\lambda_1| \ge \cdots \ge |\lambda_n|\) の順に、特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigm...

2.6.問題142.6.P14\(A \in M_n\) を与える。(a) \(A\) が正規であり、スペクトル分解 \(A = U \Lambda U^*\) があり、\(U\) はユニタリ、\(\Lambda = \mathrm{dia...

2.6.問題132.6.P13\(A \in M_n\) とし、\(A = V \Sigma W^*\) を特異値分解とする。(a) \(A\) がユニタリであることと \(\Sigma = I\) であることは同値であることを示せ。(b)...

2.6.問題122.6.P12\(A \in M_n\) の特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を考える。ここで \(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\)...

2.6.問題112.6.P11\(A \in M_{n,m}\) および正規行列 \(B \in M_m\) を与える。このとき、\(A^* A\) が \(B\) と可換であることと、ユニタリ行列 \(V \in M_n\)、\(W \i...

2.6.問題102.6.P10\(A, B \in M_n\) を与え、\(A\) の特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n \ge 0\) とし、\(\Sigma = \mathrm{diag}(\...

2.6.問題92.6.P9\(A \in M_n\) とし、ランク \(r = \mathrm{rank}(A)\) とする。降順の正の特異値 \(\sigma_1, \ldots, \sigma_r\) から \(\Sigma_1 = \...

2.6.問題82.6.P8\(A \in M_{n,k}\)、\(B \in M_{k,m}\) を与える。特異値分解を用いて、\(\mathrm{rank}(AB) \le \min\{\mathrm{rank}(A), \mathrm{...

2.6.問題72.6.P7同じサイズの2つの複素行列がユニタリ合同であるのは、特異値が一致する場合に限ることを示せ。特異値とは行列 \( A \in M_{n,m} \) を与える。ここで \( q = \min\{m, n\} \) とし...

2.6.問題62.6.P6\(A \in M_n\) とし、QR分解 \(A = QR\) を考える。(a) QRが正規であることと RQ が正規であることは同値である理由を説明せ。(b) \(A\) が正規であることと、\(Q\) および...

2.6.問題52.6.P5\(A \in M_{n,m}\) とし、\(A = B + i C\) と書く。ここで \(B, C \in M_{n,m}(\mathbb{R})\) とする。このとき、実直交行列 \(X \in M_n(\m...

2.6.問題42.6.P4\(A, B \in M_{n,m}\) が同時に実対角または非負実対角行列にユニタリ合同できるのはいつか？ (a) \(AB^*\) および \(B^*A\) が両方エルミートであることと、ユニタリ行列 \(X ...

2.6.問題32.6.P3\(A, B \in M_{n,m}\) が同時にユニタリ合同で対角行列にできるのはいつか？ \(AB^*\) および \(B^*A\) が両方正規であることと、ユニタリ行列 \(X \in M_n\)、\(Y \...