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8.4.問題68.4.P6　(8.3.P6(a)) における主張が、仮定「\( B \) が正である」が「\( B \) が既約かつ非負である」というより弱い仮定に置き換えられても正しいことを示せ。

8.4.問題58.4.P5　もし \( A, B \in M_n \) ならば、\( AB \) と \( BA \) は同じ固有値をもつ。次の2つの行列を考えよ：\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 1\end{bmatr...

8.4.問題48.4.P4　\( n \ge 2 \) かつ \( A \in M_n \) が既約で非負行列であるとする。このとき、行列列 \( (\rho(A)^{-1} A)^m \) の各成分が \( m \to \infty \)...

8.4.問題38.4.P3　既約性は、非負行列が正の固有ベクトルをもつための十分条件ではあるが、必要条件ではない。次の2つの行列を考えよ：\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 0\end{bmatrix}, \quad\be...

8.4.問題28.4.P2　ある行列 \( A \in M_n \) に対して、\( \rho(I + A) \ne \rho(A) + 1 \) となる例を挙げよ。また、\( \rho(I + A) = \rho(A) + 1 \) が成...

8.4.問題18.4.P1　(8.2.11) に含まれているが (8.4.4) には含まれていない項目が、既約な非負行列に対して一般には成り立たないことを、具体的な例を挙げて示せ。

8.4.問題集以下では、既約かつ非負な行列に関する補題・定理の理解を深めるための練習問題を示す。各問題は、第8章の結果（特に(8.2.11)および(8.4.4)など）に基づいており、固有値や最大固有値の性質を確認することを目的としている。8...

目次8.4.1　補題 ：非負行列の既約性と ((I + A)^{n-1}) の正値性8.4.2　補題：行列AとI+Aの固有値およびスペクトル半径の関係8.4.3　補題：非負行列とその最大固有値の一意性8.4.4　定理（ペロン–フロベニウスの...

8.3.問題168.3.P16　M-行列と単調行列の性質次に、実行列 \( A, B \in M_n(\mathbb{R}) \) について考える。(a) \( A \) が非特異であり、かつ \( A^{-1} \) が非負であることは、...

8.3.問題158.3.P15実数行列 \( A = \in M_n(\mathbb{R}) \) について、すべての \( i \neq j \) に対して \( a_{ij} \le 0 \) が成り立ち、さらに \( A \) のすべ...

8.3.問題148.3.P14\( A \in M_n \) を非負行列とする。次を説明せよ。(a) \( \rho(A) \) が幾何的重複度1より大きいことがあり得るが、その場合、\( \rho(A)I - A \) のすべての小行列式...

8.3.問題138.3.P13\( A \in M_n \) を非負行列とする。(a) \( \rho(A) \) の幾何的重複度が1より大きい場合、\( \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) = 0 \) であることを説明...

8.3.問題128.3.P12\( A \in M_n \) を非負行列とする。次を示す。\(\mathrm{adj}(\rho(A)I - A)\) は非負行列である。(a) 実数 \( r \) が \( r > \rho(A) \) ...

8.3.問題118.3.P11\( A \in M_n \) を非負行列とする。(a) \( A \) の特性多項式は次のように因数分解できることを説明せよ。p_A(t) = (t - \rho(A))\,g(t)ただし、g(t) = t^...

8.3.問題108.3.P10\( A \in M_n \) を非負行列とし、次の実対称非負行列を考える：H(A) = \tfrac{1}{2}(A + A^T)このとき、次が成り立つことを示せ。\rho(A) \le \lambda_{\...

8.3.問題98.3.P9\( A = \in M_n(\mathbb{R}) \) のうち、非対角成分がすべて非負である行列を本質的に非負（essentially nonnegative）という。\( A \) が本質的に非負であるとき、...

8.3.問題88.3.P8\( A \in M_n \) を非負行列とする。前問を利用して、\( A \) が既約であるか、または次のような順列行列 \( P \) が存在することを示せ。P^T A P =\begin{bmatrix}A_...

8.3.問題78.3.P7\( A \in M_n \) が非負行列であるとする。(a) \( A \) が \( r \ge 1 \) 個の正の成分と \( n - r \) 個の零成分をもつ非負固有ベクトルをもつと仮定する。このとき、あ...

8.3.問題68.3.P6\( A \in M_n \) が非負かつ零でない行列であるとする。(a) \( A \) が正の行列 \( B \) と可換であるならば、\( B \) の左ペロンベクトルおよび右ペロンベクトルは、それぞれ \(...

8.3.問題58.3.P5次の行列とベクトルを考える：A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 1\end{bmatrix}, \quadx = \begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix}.なぜ ...

8.3.問題48.3.P4次の一般化が誤りであることを例によって示せ。 「\( A \in M_n \) が非負行列で、非負の固有ベクトル \( x \) をもつとき、\( Ax = \rho(A)x \) が成り立つ」。

8.3.問題38.3.P3非負な三重対角行列 \( A = \in M_n \) について、\( A \) のすべての固有値は実数であることを示せ。