saikorodeka

5.6.問題115.6.P11なぜ \(\lVert AA^* \rVert_2 = \lVert A^*A \rVert_2 = \lVert A \rVert_2^2\) が成り立つか説明せよ。

5.6.問題105.6.P10任意のノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が \(\mathbb{C}^n\) 上に与えられているとする。任意の行列 \( A = \in M_n \) を列に沿って分割し、次を定義する...

5.6.問題95.6.P9任意の \( n \geq 1 \) に対して、\(\mathbb{C}^n\) 上のノルムの集合は凸集合であることを示せ。しかし、任意の \( n \geq 2 \) に対して、\( M_n \) 上の行列ノルム...

5.6.問題85.6.P8\( M_n \) の非特異行列は \( M_n \) の中で稠密であることを示せ。すなわち、任意の \( M_n \) の行列は非特異行列列の極限であることを示せ。特異行列は \( M_n \) で稠密だろうか。

5.6.問題75.6.P7(5.6.33.1) の構成を一般化せよ。\( N_1(\cdot), \ldots, N_m(\cdot) \) を \( M_n \) 上の行列ノルムとし、\(\lVert \cdot \rVert\) を \...

5.6.問題65.6.P6行列ノルムの公理 (1)–(3) が (5.6.7) の \(\lVert \!|\cdot|\! \rVert_S\) に対しても成り立つことを確認せよ。したがって、「行列ノルム」という仮定と結論を「行列上のノル...

5.6.問題55.6.P5 \( \lVert \!|\cdot|\! \rVert_p \) を、\( \mathbb{C}^n \) 上の \( l_p \)-ノルム (\( p \geq 1 \)) によって誘導される行列ノルムとする...

5.6.問題45.6.P4(5.6.1) では同じノルムが2つの異なる方法で使われている。すなわち、\(x\) の大きさと \(Ax\) の大きさを測る場合である。より一般に、次のように定義することを考える。\lVert \!|A|\! \...

5.6.問題35.6.P3\( M_n \) 上の行列ノルム \( \lVert \!|\cdot|\! \rVert \) に対して、任意の \( c \geq 1 \) に対して \( c \lVert \!|\cdot|\! \rVe...

5.6.問題25.6.P2単位行列 \(I\) および零行列 \(0\) 以外の 2×2 の射影行列の例を挙げよ。射影の固有値は 0 と 1 のみであることを示せ。射影行列 \(A\) が対角化可能であること、さらに \( A \neq 0...

5.6.問題15.6.P1\( M_n \) 上の \( l_1 \)-ノルムが誘導ノルムではない行列ノルムであることを説明せよ。

5.6.42定理 5.6.42. 複素ベクトル空間 \( \mathbb{C}^n \) 上の絶対ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が、行列空間 \( M_n \) 上の行列ノルム \( \lVert \!|\cd...

5.6.41定理 5.6.41. \( \lVert \cdot \rVert \) を \( \mathbb{C}^n \) 上のノルム \( \lVert \cdot \rVert \) によって誘導される \(M_n\) 上の行列ノル...

5.6.40定理 5.6.40. \( \lVert \cdot \rVert \) を \(M_n\) 上の行列ノルムとする。このとき、すべての \(A, B \in M_n\) に対して\lVert AB \rVert^D \leq \...

5.6.39定理 5.6.39. \( \lVert \cdot \rVert \) を \(M_n\) 上のノルムとする。このとき次が成り立つ：(a) \( \lVert \cdot \rVert \) が自己随伴であることと、\( \l...

5.6.38定義 5.6.38. \( \lVert \cdot \rVert \) を \(M_n\) 上のノルムとする。その双対ノルムは、各 \(A \in M_n\) に対して次で定義される。\lVert A \rVert^D = \...

5.6.36定理 5.6.36. \( \lVert \cdot \rVert \) を \(\mathbb{C}^n\) 上のノルム \(\lVert \cdot \rVert\) によって誘導される \(M_n\) 上の行列ノルムとする...

5.6.35定理 5.6.35. \( \lVert \cdot \rVert \) を \( \mathbb{C}^n \) 上のノルムによって誘導された \( M_n \) 上の行列ノルムとする。このとき次が成り立つ。(a) \( \l...

5.6.34定理 5.6.34. \( \lVert \cdot \rVert \) を \( M_n \) 上のユニタリ不変な行列ノルムとし、\( z \in \mathbb{C}^n \) が零でないとする。このとき次が成り立つ。(5....

5.6.33(5.6.27)\lVert x \rVert_{z} = \lVert xz^{*} \rVert \quad \text{for any} \; x \in \mathbb{C}^n定理 5.6.33. \(M_{n}\) ...

5.6.32(5.6.27)\lVert x \rVert_{z} = \lVert xz^{*} \rVert \quad \text{for any} \; x \in \mathbb{C}^n定理 5.6.32. \(M_{n}\) ...

5.6.31定義 5.6.31. 行列空間 \(M_{n}\) 上の行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が 最小行列ノルム（または単に最小）であるとは、任意の行列ノルム \(N(\cdot)\) が次を満たすとき...

5.6.26\(\mathbb{M}_n\) 上に行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\)、誘導行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert_{\alpha}\) を与える。また、非零ベクトル \(z \in \...

5.6.25\(\mathbb{M}_n\) 上の誘導行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert_{\alpha}\) および \(\lVert \cdot \rVert_{\beta}\) に対して、次が成立する：\lVert...

5.6.23\(\mathbb{C}^n\) 上のノルム \(\lVert \cdot \rVert_{\alpha}\) および \(\lVert \cdot \rVert_{\beta}\) と、それぞれの誘導行列ノルム \(\lVer...

5.6.18定理 5.6.18. \( \lVert \cdot \rVert_{\alpha} \) と \( \lVert \cdot \rVert_{\beta} \) を \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムとする。対応する...

5.6.17系 5.6.17. 行列 \(A = \in M_n\) が、すべての i = 1, …, n に対して|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|を満たす場合、行列 \(A\) は非特異である。証明....

5.6.16系 5.6.16. 行列 \(A \in M_n\) が、ある行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) に対して \(\lVert I - A \rVert \lt 1\) を満たす場合、非特異（可逆）である。...

5.6.15定理 5.6.15. スカラーべき級数 \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k\) の収束半径を \(R\) とし、\(A \in M_n\) を与える。このとき、行列べき級数\sum_{k=0}^{\inf...