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4.エルミート行列、対称行列、合同行列

[行列解析4.1.P2]

4.1.問題24.1.P2\(A \in M_n\) がエルミートで \(S \in M_n\) のとき、\(SAS^*\) がエルミートであることを示せ。非特異な場合の \(SAS^{-1}\) はどうか?
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[行列解析4.1.P1]

4.1.問題14.1.P1エルミート行列の主小行列はすべてエルミートであることを示せ。歪エルミート行列や正規行列でも同様か? 証明するか反例を示せ。
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[行列解析4.1]問題集

4.1問題集4.1.P1 エルミート行列の主小行列はすべてエルミートであることを示せ。歪エルミート行列や正規行列でも同様か? 証明するか反例を示せ。4.1.P2 \(A \in M_n\) がエルミートで \(S \in M_n\) のとき...
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[行列解析4.1.13]命題

4.1.13命題 4.1.13. 行列 \(A \in Mn\) がエルミートであるとする。このとき、\(A = A^+ - A^-\) が成り立つ。各行列 \(A^+\) と \(A^-\) は正半定値であり、また \(A^+\) と \...
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[行列解析4.1.12]定義

4.1.12定義定義 4.1.12. 行列 \(A \in Mn\) をエルミート行列とし、固有値を \(\lambda_1 \ge \cdots \ge \lambda_n\) と非増加順に並べる。行列 \(\Lambda = \math...
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[行列解析4.1.11]定義

4.1.11定義定義 4.1.11. 対称行列 \(A \in Mn(\mathbb{R})\) は、すべての非零ベクトル \(x \in \mathbb{R}^n\) に対して \(x^T A x \ge 0\) であれば正定値(posi...
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[行列解析4.1.10]定理

4.1.10定理定理 4.1.10. \(A \in Mn(\mathbb{R})\) が対称行列であるとする。このとき、すべての非零ベクトル \(x \in \mathbb{R}^n\) に対して \(x^T A x > 0\) (それぞ...
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[行列解析4.1.9]定義

4.1.9定義 4.1.9. 行列 \(A \in Mn\) が正定値であるとは、すべての非零ベクトル \(x \in C^n\) に対して \(x^* A x\) が実かつ正であることをいう。正半定値であるとは、すべての非零ベクトル \(...
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[行列解析4.1.8]定理

4.1.8定理定理 4.1.8. 与えられた行列 \(A \in Mn\) に対して、すべての非零ベクトル \(x \in C^n\) について \(x^* A x\) が実かつ正(それぞれ非負)であることと、\(A\) がエルミートであり...
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[行列解析4.1.7]定理

4.1.7定理定理 4.1.7. 与えられた行列 \(A \in Mn\) に対して、以下の記述は同値である:(a) \(A\) は実行列に相似である。(b) \(A\) は \(A^*\) に相似である。(c) \(A\) はエルミート相...
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[行列解析4.1.6]定理

4.1.6定理定理 4.1.6. 与えられた非空のエルミート行列族 \(F\) に対して、すべての \(A \in F\) に対して \(U A U^*\) が対角行列となるユニタリ行列 \(U\) が存在することと、すべての \(A, B...
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[行列解析4.1.5]定理

4.1.5定理定理 4.1.5. 行列 \(A \in M_n\) はエルミートであることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) と実対角行列 \(\Lambda \in M_n\) が存在して \(A = U \Lambda U^*...
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[行列解析4.1.4]定理

4.1.4定理定理 4.1.4. \(A = \in M_n\) が与えられたとする。このとき、A がエルミート行列であることと、次の条件の少なくとも一つを満たすことは同値である:(a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\)...
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[行列解析4.1.3]定理

4.1.3定理 4.1.3. \(A \in M_n\) がエルミート行列であるとする。このとき:(a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して、\(x^* A x\) は実数である。(b) \(A\) の固有値はす...
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[行列解析4.1.2]定理(テプリッツ分解)

4.1.2定理 4.1.2(テプリッツ分解)。任意の行列 \(A \in M_n\) は、一意的に次の形に分解できる:A = H + i Kここで、\(H\) と \(K\) はともにエルミート行列である。また、一意的に次の形にも分解できる...
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[行列解析4.1.1]定義

4.1.1定義 4.1.1. 行列 \(A = \in M_n\) は、\(A = A^*\) であればエルミート行列(Hermitian)と呼び、\(A = -A^*\) であれば歪エルミート行列(skew Hermitian)と呼ぶ。\...
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[行列解析4.1]エルミート行列の性質と特徴 (Properties and characterizations of Hermitian matrices)

4.1.1 定義4.1.2
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[行列解析4.0.6]例

4.0.6例 4.0.6.行列 \(A = \in M_n(\mathbb{R})\) を考え、実二重線形形式を定義する:Q(x, y) = y^T A x = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} y_i x_j , \quad...
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[行列解析4.0.5]例

4.0.5例 4.0.5. 無向グラフ \(\Gamma\) を考える。これは、ノードの集合 \(N = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}\) と、ノードの順序を持たないペアの集合(辺) \(E = \{\{P_{i_1},...
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[行列解析4.0.3]例

4.0.3例 4.0.3. 次の二階線形偏微分作用素 \(L\) を考える:(4.0.4)L f(x) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x) \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \pa...
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[行列解析4.0.2]

4.0.2例 4.0.2. 行列 \( A = \in M_n \) が実または複素数の成分を持つとする。このとき、\(A\) によって生成される \(\mathbb{R}^n\) または \(\mathbb{C}^n\) 上の二次形式を考...
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[行列解析4.0.1]

4.0.1例 4.0.1. 関数 \( f : D \to \mathbb{R} \) がある領域 \( D \subset \mathbb{R}^n \) 上で二階連続微分可能であるとする。このとき、実行列H(x) = = \left[\...
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[行列解析4.0]はじめに

4.0.1 例4.0.2 例
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[行列解析4]エルミート行列、対称行列、合同行列

4.エルミート行列、対称行列、合同行列目次4.0 はじめに (Introduction)4.1 エルミート行列の性質と特徴 (Properties and characterizations of Hermitian matrices)4....
3.標準形と三角因子分解

[行列解析3.5.P13]

3.5.問題13演習 3.5.P13. 補零定理(law of complementary nullities, 0.7.5)に関する次のアプローチの詳細を示せ。この方法は、LPU 分解を用いて、一般の場合を(簡単な)置換行列の場合から導く...
3.標準形と三角因子分解

[行列解析3.5.P12]

3.5.問題12習 3.5.P12.\( P \in M_n \) を次のように分割する:P = \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12} \\ P_{21} & P_{22} \end{bmatrix}, \quad...
3.標準形と三角因子分解

[行列解析3.5.P11]

3.5.問題11演習 3.5.P11.置換行列 \( P = \in M_n \) を考える。これは 1, …, n の置換 \(\pi_1, …, \pi_n\) に対応し、\( p_{\pi_j,j} = 1 \)(その他の成分は 0)...
3.標準形と三角因子分解

[行列解析3.5.P10]

3.5.問題10演習 3.5.P10.\( A \in M_n \) が対称で、すべての先頭主小行列が非特異である場合、非特異下三角行列 \( L \) が存在して \( A = L L^T \) であることを示せ。つまり、LU 分解におい...
3.標準形と三角因子分解

[行列解析3.5.P9]

3.5.問題9演習 3.5.P9.\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) を次の対称三重対角行列(0.9.10)とする:\text{全主対角成分は } +2, \text{第一上三角と下三角成分は } -1次の行列を考える:...
3.標準形と三角因子分解

[行列解析3.5.P8]

3.5.問題8演習 3.5.P8.(3.5.6) の条件「\( A \) が全て非特異」は、「\( A \) が全て非特異」に置き換え可能であることを示せ。