8.正および非負行列 [行列解析8.5.8]系：ヴィーラントの定理
8.5.8 系（ヴィーラントの定理）\( A \in M_n \) が非負行列であるとする。このとき、次が成り立つ：\( A \) が原始的であるための必要十分条件は、A^{n^2 - 2n + 2} \gt 0証明あるべき乗 \( A^k...
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8.正および非負行列 8.正および非負行列 [行列解析8.5.7]定理：原始的非負行列に対する指数の上限
8.5.7 定理：原始的非負行列に対する指数の上限定理 8.5.7．\( A \in M_n \) が非負かつ原始的な行列であり、\( \Gamma(A) \) における最短閉路の長さが \( s \) であるとする。このとき、\gamma...
8.正および非負行列 [行列解析8.5.6]定理：原始行列の冪が正行列となる上限
8.5.6 定理：原始行列の冪が正行列となる上限\( A \in M_n \) が非負行列であるとする。もし \( A \) が原始行列であるならば、ある正の整数 \( k \le (n - 1)n^n \) が存在して、次が成り立つ。A^...
8.正および非負行列 [行列解析8.5.5]補題：原始行列の冪もまた原始行列
8.5.5 補題：原始行列の冪もまた原始行列である\( A \in M_n \) が非負で原始的であるとする。このとき、任意の整数 \( m \ge 1 \) に対して、\( A^m \) は非負であり、かつ原始行列である。証明\( A \...
8.正および非負行列 [行列解析8.5.4]補題：対角成分が正の既約非負行列は原始行列
8.5.4 補題：対角成分が正の既約非負行列は原始行列であるもし \( A \in M_n \) が既約で非負行列であり、かつその主対角成分がすべて正であるならば、\( A^{n-1} \gt 0 \) である。したがって、\( A \) ...
8.正および非負行列 [行列解析8.5.3]定理：原始行列と閉路長の最大公約数による特徴づけ
8.5.3 原始行列と閉路長の最大公約数による特徴づけ定理 8.5.3\( A \in M_n \) を既約かつ非負の行列とし、その有向グラフを \( \mathcal{G}(A) \) とする。ノードを \( P_1, P_2, \ldo...
8.正および非負行列 [行列解析8.5.2]定理：原始行列の判定条件とグラフ理論的特徴づけ
8.5.2 原始行列の判定条件とグラフ理論的特徴づけ定理 8.5.2もし \( A \in M_n \) が非負行列であるならば、次の2つは同値である。A \text{ は原始行列である} \quad \Longleftrightarrow...
8.正および非負行列 [行列解析8.5.1]定理：原始行列に対するペロンの定理の一般化
8.5.1 原始行列に対するペロンの定理の一般化定理 8.5.1もし \( A \in M_n \) が非負かつ原始行列であり、\( x \) および \( y \) がそれぞれ \( A \) の右ペロンベクトルおよび左ペロンベクトルであ...
8.正および非負行列 [行列解析8.5.0]定義：原始行列（primitive matrix）
8.5.0 原始行列（primitive matrix）の定義と性質(8.2.7) の証明を精査すると、最大絶対値の固有値がスペクトル半径以外に存在しないという追加の仮定を設ければ、この証明は非負かつ既約な行列に対しても有効であることがわか...
8.正および非負行列 [行列解析8.5]原始行列
目次8.5.0 定義：原始行列（primitive matrix）8.5.1 定理：原始行列に対するペロンの定理の一般化8.5.2 定理：原始行列の判定条件とグラフ理論的特徴づけ8.5.3 定理：原始行列と閉路長の最大公約数による特徴づけ8...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P26]
8.4.問題26問題 8.4.P26 \( A \in M_n \) を非負行列とし、\( x = , y = \) をそれぞれ右・左ペロンベクトルとする。すなわち、 \( Ax = \rho(A)x \)、\( y^T A = \rho(...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P25]
8.4.問題25問題 8.4.P25 行列 \( A_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) は、(8.2.P13)の結果が非正行列には必ずしも成り立たないことを示す。 \(\...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P24]
8.4.問題24問題 8.4.P24\( A \in M_n \) を非負行列で \( \rho(A) > 0 \) とする。もし \( \lambda \) が \( A \) の最大モジュラス固有値ならば、(8.3.6)および(8.4....
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P23]
8.4.問題23問題 8.4.P23\( A \in M_n \) を既約かつ非負とし、右ペロンベクトルを \( x \)、左ペロンベクトルを \( y \) とする。 このとき、随伴行列 \( \operatorname{adj}(\rh...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P22]
8.4.問題22問題 8.4.P22 単位ベクトル \( x_1, \ldots, x_{n+2} \in \mathbb{R}^n \) が与えられ、それらのグラム行列を \( G = \in M_{n+2}(\mathbb{R}) \)...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P21]
8.4.問題21問題 8.4.P21 \( A \in M_n \) が既約かつ非負であるとする。 (a) 非負の零でないベクトル \( x \) と正のスカラー \( \alpha \) が存在して \( Ax \le \alpha x ...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P20]
8.4.問題208.4.P20 \( n \ge 2 \) かつ \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。(a) 任意の負の固有値が、\( A^2 \) において代数的および幾何的重複度がともに偶数である理由を説明せ...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P19]
8.4.問題198.4.P19 (8.2.P9) のすべての主張が、より弱い仮定「\( A \) が既約かつ非負である」場合にも成り立つことを示せ。
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P18]
8.4.問題188.4.P18 次の各行列について、最良ランク1最小二乗近似を求めよ：\begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & 1\end{bmatrix}, \quad\begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1\...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P17]
8.4.問題178.4.P17 \( A \in M_n \) を非負行列とする。最小二乗の意味で \( A \) に最も近いランク1行列（最良ランク1近似）を求める問題を考える。すなわち、\( A A^T \) または \( A^T A ...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P16]
8.4.問題168.4.P16\( A \in M_n \) を非負行列とする。(a) ある多項式 \( p(t) \) が存在して、その \( p(A) \) のすべての成分が非零であることと、\( A \) が既約であることが同値である...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P15]
8.4.問題158.4.P15 \( A \in M_n \) を非負行列とする。(a) \( A \) が既約であるとき、任意の非負固有ベクトルが \( A \) のペロンベクトルの正のスカラー倍である理由を説明せよ。(b) \( A \...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P14]
8.4.問題148.4.P14 \( A, B \in M_n \) が非負行列であり、\( A \) が既約であるとする。(a) 前問を用いて、\( B \ne 0 \) のとき \( \rho(A + B) \gt \rho(A) \)...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P13]
8.4.問題138.4.P13 \( A = \in M_n \) が既約かつ非負であるとし、\( x = \)、\( y = \) をそれぞれ \(A\) の右ペロンベクトルおよび左ペロンベクトルとする。(a) 各 \( i, j \in...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P12]
8.4.問題128.4.P12 多項式 \( p(t) \) が (3.3.11) の形であり、かつ \( a_0 \ne 0 \) であるとする。次に次の多項式を考える：\tilde{p}(t) = t^n - |a_{n-1}|t^{n...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P11]
8.4.問題118.4.P11 \( n \gt 1 \) が素数であるとする。もし \( A \in M_n \) が既約・非負かつ非特異であるならば、\( \rho(A) \) が最大絶対値をもつ唯一の固有値であるか、またはすべての固有...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P10]
8.4.問題108.4.P10 もし \( A \in M_n \) が指数 \( k \ge 1 \) の巡回的行列であるなら、その特性多項式は次のように表されることを示せ：p_A(t) = t^r (t^k - \rho(A)^k)(t...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P9]
8.4.問題98.4.P9 既約かつ非負な行列 \( A \in M_n \) が、最大固有値の絶対値をもつ固有値を \( k \ge 1 \) 個もつとき、\( A \) は「指数 \( k \) の巡回的（cyclic）」であるという。...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P8]
8.4.問題88.4.P8 正の整数 \( p, q, r \) が与えられているとする。サイズ \( p + q + r \) の非負行列を構成し、その最大固有値の絶対値をもつ固有値が、単位根のうち \( p \) 次、\( q \) 次...
8.正および非負行列 [行列解析8.4.P7]
8.4.問題78.4.P7 多項式 \( t^k - 1 = 0 \) のフロベニウスの同伴行列が、最大固有値の絶対値をもつ固有値を \( k \) 個もつ \( k \times k \) の非負行列の例であることを示せ。また、これらの固...