3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P19] 3.1問題193.1.P19\( x, y \in \mathbb{R}^n \)、\( t \in \mathbb{R} \) が与えられたとする。上三角行列を次のように定める:A_{x,y,t} =\begin{bmatrix}1 & ... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P18] 3.1問題183.1.P18\( A \in M_n \) が正則であると仮定する。 (a) もし \( A \) の各固有値が +1 または −1 であるならば、\( A \) は \( A^{-1} \) と相似である理由を説明せよ。 ... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P17] 3.1問題173.1.P17\( A \in M_n \) が正則であると仮定する。\( A \) が \( A^{-1} \) と相似であることと、\( A \) の固有値 λ について λ ≠ ±1 の場合に、ジョルダン標準形における ... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P16] 3.1問題163.1.P16ここで λ ≠ 0 かつ k ≥ 2 とする。このとき \( J_k(\lambda)^{-1} \) は \( J_k(\lambda) \) の多項式で表される (2.4.3.4)。 (a) \( J_k(\... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P15] 3.1問題153.1.P15\(n\ge 2\)、非ゼロベクトル \(x,y\in\mathbb{C}^n\) を与え、\(A=xy^\ast\) とする。(a) \(A\) のジョルダン標準形は \(B\oplus 0_{n-2}\) で... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P14] 3.1問題143.1.P14\(A\in M_n\) とする。式 (3.1.18) を用いて \(A\) と \(A^{\mathrm T}\) が相似であることを示しなさい。さらに、\(A\) と \(A^\ast\) が相似であるかどう... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P13] 3.1問題133.1.P13正の整数 \(k,m\) を与え、次のブロック・ジョルダン行列を考えます。\begin{align}&J_k^+(\lambda I_m):= \notag \\&\begin{bmatrix}\lambda I... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P12] 3.1問題123.1.P12 \(A\in M_n\) をとり、正の整数 \(k,p\) を与える。\(w_k=w_k(A,\lambda)\)(\(k=1,2,\dots\))、\(s_k=s_k(A,\lambda)\)(\(k=1,2... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P11] 3.1問題111.P11(3.1.15)\begin{align}& r_k(A,\lambda) = \operatorname{rank}(A - \lambda I)^k, \notag \quad \\& r_0(A,\lambda... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P10] 3.1問題103.1.P10任意の \(\lambda\in \mathbb{C}\) と任意の正整数 \(k\) に対し、\(-J_k(\lambda)\) のジョルダン標準形が \(J_k(-\lambda)\) であることを示しなさい... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P9] 3.1問題93.1.P9\(n\ge 3\) とする。\(J_n(0)^2\) のジョルダン標準形を求めよ。\(n=2m\)(偶数)のとき \(J_m(0)\oplus J_m(0)\)、\(n=2m+1\)(奇数)のとき \(J_{m+1... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P8] 3.1問題83.1.P8\(A \in M_n\) とし、\(\operatorname{rank} A = r \ge 1\) かつ \(A^2=0\) と仮定する。前問または(3.1.18)を用いて、\(A\) のジョルダン標準形が \... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P7] 3.1問題73.1.P7\(A \in M_n\)、\(\lambda\) を \(A\) の固有値、\(k \in \{1,\ldots,n\}\) とする。\(r_{k-1}(A,\lambda) - 2\,r_k(A,\lambda)... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P6] 3.1問題63.1.P6(3.1.11)の証明の3つの手順を実行して、次の行列のジョルダン標準形を求めなさい。また(3.1.18)を用いて答えを確認しなさい。\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 1\end{pmatrix}... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P5] 3.1問題53.1.P5各ジョルダンブロック \(J_k(\lambda)\) は固有値 \(\lambda\) に対して一次元の固有空間をもつことを説明しなさい。これより、\(\lambda\) の幾何学的重複度は 1、代数的重複度は \... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P4] 3.1問題43.1.P4\(A \in M_n\) とする。ある複素数 \(c\) が \(|c|\neq 1\) を満たし、\(A\) が \(cA\) と相似であると仮定せよ。すると \(\sigma(A)=\{0\}\) であり、した... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P3] 3.1問題33.1.P3\(A \in M_n\) が非実成分を含むが、固有値は実数のみであるとする。\(A\) が実行列と相似であることを示しなさい。相似を与える行列を実行列に選べる場合はあるか。 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P2] 3.1問題23.1.P2(3.0.0)にある2つの行列のジョルダン標準形は何か。(3.0.0)A =\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 &... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P1] 3.1問題13.1.P1(3.1.4)を証明するための計算の詳細を補いなさい。(3.1.4)J_k(0)^T J_k(0) =\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & I_{k-1}\end{bmatrix}\left(I_k ... 2025.09.07 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1]問題集 3.1問題集3.1.P1(3.1.4)を証明するための計算の詳細を補いなさい。(3.1.4)J_k(0)^T J_k(0) =\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & I_{k-1}\end{bmatrix}\left(I_k ... 2025.09.06 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.21] 3.1.21系系 3.1.21. \( A \in M_n \) と非零の \( \xi \in \mathbb{C} \) が与えられているとする。このとき、ある正則行列 \( S(\xi) \in M_n \) が存在して、次が成り立つ... 2025.09.04 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.18]補題(Segre特性) 3.1.18補題補題 3.1.18. \(A \in M_n\) の固有値 \(\lambda\) を与えられたものとし、\(w_1(A, \lambda), w_2(A, \lambda), \ldots\) を \(\lambda\) ... 2025.09.04 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.11]定理(Weyr特性) 3.1.11定理 3.1.11. \(A \in M_n\) が与えられているとする。このとき、正則行列 \(S \in M_n\)、正の整数 \(q\) および \(n_1, \ldots, n_q\) (ただし \(n_1 + n_2 ... 2025.09.04 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.5]定理 3.1.5定理定理 3.1.5. \(A \in \mathbb{M}_n\) が厳密な上三角行列(すなわち対角成分とその下がすべてゼロ)であるとする。このとき、ある正則行列 \(S \in \mathbb{M}_n\) と、整数 \(n_... 2025.09.03 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.4]補題 3.1.4補題補題 3.1.4. \(k \geq 2\) とする。\(e_i \in \mathbb{C}^k\) を \(i\) 番目の標準基底ベクトルとし、\(x \in \mathbb{C}^k\) とする。このとき次が成り立つ。J... 2025.09.03 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.1]定義 3.1.1定義 3.1.1. ジョルダンブロック \( J_k(\lambda) \) とは、次の形をもつ \( k \times k \) の上三角行列をいいます。J_k(\lambda) =\begin{bmatrix}\lambda ... 2025.09.03 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1]ジョルダン標準形の定理 3.13.1.1 定義(3.1.2)J_1(\lambda) = , \quadJ_2(\lambda) =\begin{bmatrix}\lambda & 1 \\0 & \lambda\end{bmatrix}(3.1.3)J = J_... 2025.09.03 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.0]序論 3.0 序論3.0 序論2つの行列が相似かどうかをどのように判定できるでしょうか。次の行列を考えてみましょう。(3.0.0)A =\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & ... 2025.09.03 3.標準形と三角因子分解行列解析
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3]標準形(Canonical Forms)と三角因子分解 3.標準形(Canonical Forms)と三角因子分解目次3.0 序論3.1 ジョルダン標準形の定理3.2 2025.09.03 3.標準形と三角因子分解行列解析
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.7]問題集 2.7.問題集CS分解を用いて、次の各問題を解きなさい。他の方法も可能であるが、ここではCS分解を使うこととする。与えられた \( A \in M_{n,m} \) が縮小写像 (contraction) であるとは、その最大特異値が 1 ... 2025.09.03 2.ユニタリ相似とユニタリ同値行列解析