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0.8.8　小行列式（minor）間の関係式行列 \( A \in \mathbb{M}_{m,n}(F) \) を与え、濃度 \( k \) の固定された添字集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, m\} ...

0.8.7　コーシー・ビネの公式（Cauchy–Binet formula）この有用な公式は、見た目が行列の積の公式に似ているため、覚えやすい形をしています。これは偶然ではなく、実際には複合行列（compound matrix）の乗法性 (...

0.8.6　シルベスターとクロネッカーの行列式恒等式(0.8.5.4) の結果から導かれる2つの帰結を考えます。まず、次のように定義します：B = \left( b_{ij} \right) = \left \right]_{i,j=1}^...

0.8.5 シュア補題と行列式の公式A = \in M_n(F) とし、ある添字集合 \( \alpha \subset \{1, \ldots, n\} \) に対して、部分行列 \( A \) が正則（可逆）であるとします。このとき、A...

0.8.4 逆行列の小行列式（Minors of the inverse）Jacobiの恒等式は、正則な行列 \(A \in M_n(F)\) に対する余因子を用いた逆行列の公式を一般化し、\(A^{-1}\) の小行列式と \(A\) の...

0.8.3 クラメルの公式（Cramer’s Rule）クラメルの公式は、\( A \in M_n(F) \) が正則であるとき、連立一次方程式 \( Ax = b \) の解ベクトルの特定の成分を解析的に表現する便利な方法です。次の恒等式...

0.8.2 余因子行列（Adjugate）と逆行列\( A \in M_n(F) \), \( n \geq 2 \) とします。行列 \( A \) の余因子の転置行列（余因子行列、または古典的随伴行列）は次で与えられます：\mathrm...

0.8.1 合成行列（Compound matrices）行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) を考えます。集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, m\} \)、および \( \beta \su...

0.8 再び行列式について行列式に関する追加的な事実と恒等式は、参照のために有用です。0.8.1 合成行列（Compound matrices）0.8.2 余因子行列と逆行列0.8.3 クラメルの公式0.8.4 逆行列の小行列式0.8.5 ...

0.7.8 vec写像行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) をその列によって分割し、A = と表現します。写像 vec：\( M_{m,n}(F) \rightarrow F^{mn} \) は、\operatorname{v...

0.7.7 可換性、反可換性、およびブロック対角行列2つの行列 \( A, B \in M_n(F) \) が 可換であるとは、\( AB = BA \) が成り立つことを意味します。可換性は一般的ではありませんが、重要な特例がよく見られま...

0.7.6 分割行列の階数とランク主小行列行列 \( A \in M_n(F) \) を次のように分割します：A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatr...

0.7.5 相補零空間次元（complementary nullities）\(A \in M_n(F)\) が可逆行列で、\(\alpha, \beta \subset \{1, \ldots, n\}\) を空でない部分集合とし、\(|...

0.7.4 Sherman–Morrison–Woodbury 公式可逆行列 \(A \in M_n(F)\) があり、その逆行列 \(A^{-1}\) が既知であるとします。ここで、B = A + XRYと定義し、\(X\) は \(n ...

0.7.3 分割行列の逆行列可逆な分割行列 A の逆行列において、対応するブロックを同様に分割形式で表現することが有用な場合があります。これは、A \(\in M_n(F)\) およびその逆行列 \(A^{-1}\) の特定の部分行列が可逆...

0.7.2 分割、ブロック行列、積の計算集合 \( \{1, \ldots, m\} \) の分割を \( \alpha_1, \ldots, \alpha_t \)、集合 \( \{1, \ldots, n\} \) の分割を \( \b...

0.7.1 部分行列\( A \in \mathbb{M}_{m,n}(F) \) とし、インデックス集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, m\} \)、\( \beta \subseteq \{1, \l...

0.7 分割された集合と行列集合 \( S \) の分割とは、\( S \) の部分集合の集まりであり、各要素がそのいずれか一つだけに含まれているようなものを指します。たとえば、集合 \( \{1, 2, \ldots, n\} \) の分...

0.6.6 直交補空間任意の集合 \( S \subset \mathbb{C}^n \) に対して、その直交補空間はS^\perp = \{ x \in \mathbb{C}^n : x^* y = 0 \text{ for all } ...

0.6.5 直交正規基底内積空間における直交正規基底とは、直交正規列をなすベクトルからなる基底のことです。グラム–シュミット法により任意の有限基底を直交正規基底に変換可能であり、任意の直交正規列は直交正規基底に拡張できます。直交正規基底では...

0.6.4 グラム–シュミット直交化法内積空間における有限個の線形独立なベクトル列は、同じ線形包を持つ直交正規列に置き換えることが可能です。その代表的な方法がグラム–シュミット直交化法です。初めにベクトル列 \( x_1, \ldots, ...

0.6.3 コーシー–シュワルツの不等式コーシー–シュワルツの不等式によれば、任意の \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して|\langle x, y \rangle| \leq \|x\|_2 \|y\|_2が成...

0.6.2 直交性と直交正規性ベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が \( \langle x, y \rangle = 0 \) を満たすとき、直交しているといいます。2次元および3次元実空間では、これは幾何...

0.6.1 定義スカラー積 \( \langle x, y \rangle = y^* x \) は、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対するユークリッド内積（標準内積、通常の内積、スカラー積、ドット積）と呼ばれます...

0.6 ユークリッド内積とノルム0.6.1 定義0.6.2 直交性と直交正規性0.6.3 コーシー–シュワルツの不等式0.6.4 グラム–シュミット直交化法0.6.5 直交正規基底0.6.6 直交補空間

0.5 非特異性（Nonsingularity）線形変換または行列が、入力が 0 のときにのみ出力が 0 となる場合、それは 非特異 (nonsingular) であるといいます。それ以外の場合は 特異 (singular) です。もし \...

0.4.6 ランクの等式ランクに関する基本的な等式には、以下のようなものがあります：(a)もし \( A \in M_{m,n}(\mathbb{C}) \) であれば、次が成り立ちます：\operatorname{rank}(A^*) =...

0.4.5 ランクの不等式ランクに関する基本的な不等式には、以下のようなものがあります：(a)もし \( A \in M_{m,n}(F) \) であれば、\operatorname{rank} A \leq \min\{m, n\}(b)...

0.4.4 ランクの特徴づけ行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) に関して、以下の記述は同値であり、状況に応じて使い分けられます。特に (b) と (c) は列または行の線形独立性に関わる重要なポイントです。ランク \( \o...

0.4.3 RREF とランク初等行操作は行列のランクを変えないため、\( A \) のランクは \( A \) の簡約階段行列（RREF）のランクと同じです。RREF のランクは非ゼロ行の数に等しいです。ただし、実務上、数値計算でRREF...