標準対（Canonical Pairs）
任意の複素正方行列 \( A \) は、一意的に次のように表すことができる。
A = S(A) + C(A)
ここで、\( S(A) = \frac{1}{2}(A + A^{T}) \) は対称行列であり、\( C(A) = \frac{1}{2}(A - A^{T}) \) は交代（反対称）行列である。同様に、
A = H(A) + i K(A)
と表すこともできる。ここで、\( H(A) = \frac{1}{2}(A + A^{*}) \)、\( K(A) = \frac{1}{2i}(A - A^{*}) \) はともにエルミート行列である。 \( S(A) \) と \( C(A) \) の同時合同変換は、\( A \) の合同変換に対応する。また、\( H(A) \) と \( K(A) \) の同時 ∗合同変換は、\( A \) の ∗合同変換に対応する。
対 \((S(A), C(A))\) および \((H(A), K(A))\)（これらを標準対と呼ぶ）の標準形は、それぞれの合同および ∗合同標準形から導かれる。以下では、これらの標準対を記述するために、次の \(k \times k\) 行列を用いる。
M_k =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & & \vdots \\
0 & \cdots & 1 & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\\
\; \\
N_k =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
-1 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & & \vdots \\
0 & \cdots & -1 & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 0 & -1 & 0
\end{bmatrix}
さらに、以下のような行列 \( X_k \) と \( Y_k \) も用いる。
X_k =
\begin{bmatrix}
0 & & & & & \cdots & & (-1)^{k+1}\\
& & & & & \vdots & & 0\\
& & & -1 & & \vdots & \\
& & 1 & 0 & & \vdots & & & \\
& -1 & 0 & & & \vdots & & \\
1 & 0 & & & & \cdots & & 0
\end{bmatrix}
Y_k =
\begin{bmatrix}
0 & & & & & \cdots & & 0\\
& & & & & \vdots & & (-1)^{k}\\
& & & 0 & & \vdots & \\
& & 0 & 1 & & \vdots & & & \\
& 0 & -1 & & & \vdots & & \\
0 & 1 & & & & \cdots & & 0
\end{bmatrix}
また、型 I 行列の2パラメータ版として次の行列を用いる。
\Delta_k(a,b) =
\begin{bmatrix}
0 & & & & & \cdots & & a\\
& & & & & \vdots & & b\\
& & & a & & \vdots & \\
& & a & b & & \vdots & & & \\
& a & b & & & \vdots & & \\
a & b & & & & \cdots & & 0
\end{bmatrix}
行列対 \((A, B)\) は、同じサイズの正方行列の順序付きペアを指す。 2つの行列対 \((A_1, A_2)\)、\((B_1, B_2)\) の直和は
(A_1, A_2) \oplus (B_1, B_2) = (A_1 \oplus B_1, A_2 \oplus B_2)
で定義される。また、2つの同サイズの正方行列 \(A, B\) の交代和は
[A \setminus B] =
\begin{bmatrix}
0 & B \\
A & 0
\end{bmatrix}
である。 行列対 \((A_1, A_2)\) と \((B_1, B_2)\) が同時合同であるとは、ある正則行列 \( R \) が存在して、
A_1 = R^{T} B_1 R, \quad A_2 = R^{T} B_2 R
を満たすときである。同様に、同時 ∗合同とは、
A_1 = R^{*} B_1 R, \quad A_2 = R^{*} B_2 R
を満たす場合をいう。
定理 F1（標準対の分類）
(a) 対称複素行列 \( S \) と交代複素行列 \( C \) のペア \((S, C)\) は、同時合同によって次の3種のペアの直和に同値であり、その構成要素の順序以外は一意である。
それぞれは、行列 \( A = S + C \) に対応する合同標準形に関連している。
型 0: \( J_n(0) \) に対応
\((M_n, N_n)\)
型 I:\( \Gamma_n(0) \) に対応
\( n \) が奇数のとき \((X_n, Y_n)\)、偶数のとき \((Y_n, X_n)\)
型 II: \( H_{2n}(\mu) \) に対応
\( ([J_n(\mu+1) \boxplus J_n(\mu+1)^T], [J_n(\mu-1) \boxplus -J_n(\mu-1)^T]) \)
ただし \(\mu \ne 0\)、\(\mu \ne (-1)^{n+1}\)、かつ \(\mu\) は \(\mu^{-1}\) との置換まで一意である。
この型 II ペアは、次のような代替表現に置き換えることもできる。
H_{2n}(\mu)
\left(
[I_n \setminus I_n], [J_n(\nu) \setminus -J_n(\nu)^T]
\right)
ここで、\(\mu, \nu\) は条件 \(\mu \ne 0, \mu \ne -1\)、かつ \(n\) の偶奇により \(\nu\) の符号が決まる。
エルミート行列の場合
(b) 同様に、エルミート行列 \( H \) と \( K \) のペア \((H, K)\) は、同時 ∗合同によって次の4種のペアの直和に同値であり、一意に決定される。
それぞれは、行列 \( A = H + iK \) に対応する ∗合同標準形に関連している。
型 0:\( J_n(0) \) のとき
\((M_n, i N_n)\)
型 I: \(|\lambda| = 1, \lambda^2 \ne -1, c \in \mathbb{R}\) のとき
\((\Xi_n(1, 0), \Xi_n(c, 1))\)
型 I（特別な場合）: \(\lambda^2 = -1\) のとき
\((\Xi_n(0, 1), \Xi_n(1, 0))\)
型 II: \( |μ| > 1, a, b \in \mathbb{R}, a + bi \ne i, b > 0 \) のとき
H_{2n}(\mu)
\left(
[I_n \setminus I_n],
[J_n(a + ib) \setminus J_n(a + ib)^{*}]
\right)
ここで、
a = \frac{2 \operatorname{Im}\mu}{|1 + \mu|^2},
\quad
b = \frac{|\mu|^2 - 1}{|1 + \mu|^2},
\quad
c = \frac{\operatorname{Im}\lambda}{\operatorname{Re}\lambda}
である。
参考文献
ここで示した標準形ペアは、R. A. Horn と V. V. Sergeichuk, Canonical forms for complex matrix congruence and ∗congruence, Linear Algebra Appl. 416 (2006) 1010–1032 から引用した。
標準形ペアの代替バージョンについては、P. Lancaster と L. Rodman, Canonical forms for Hermitian matrix pairs under strict equivalence and congruence, SIAM Review 47 (2005) 407–443、P. Lancaster と L. Rodman, Canonical forms for symmetric/skew-symmetric real matrix pairs under strict equivalence and congruence, Linear Algebra Appl. を参照。 406 (2005) 1–76、R. C. Thompson, 複素数および実数の対称行列と歪行列のペンシル、Linear Algebra Appl. 147 (1991) 323–371、およびV. V. Sergeichuk, 形式と線形写像のシステムに関する分類問題、 Math. USSR-Izv. 31 (1988) 481–501。
行列解析の総本山
総本山の目次
記号の意味
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