8.1.問題集
以下では、非負行列とスペクトル半径に関連する性質について考察する問題を示す。
それぞれの問題は、ペロン–フロベニウスの定理の理解を深めるうえで重要である。
8.1.P1
\( A \in M_n \) が非負行列であり、ある正の整数 \( k \) に対して \( A^k \) が正行列であるとする。
このとき、なぜ \( \rho(A) \gt 0 \) が成り立つのかを説明せよ。
8.1.P2
次の条件を満たす \( 2 \times 2 \) 行列 \( A \) の例を挙げよ。
\( A \ge 0 \)、\( A \) は正行列ではないが、\( A^2 \gt 0 \)。
8.1.P3
\( A \in M_n \) が非負かつ零行列でないとする。
もし \( A \) が正の固有ベクトルをもつならば、なぜ \( \rho(A) \gt 0 \) が成り立つのかを説明せよ。
8.1.P4
\( A \in M_n \) とする。
系 5.6.13 により、任意の \( \varepsilon \gt 0 \) に対して、非負行列 \( C(A, \varepsilon) \) が存在し、次が成り立つ：
|A^m| \le (\rho(A) + \varepsilon)^m C(A, \varepsilon), \quad m = 1, 2, \ldots
\( A \) が非負かつ正の固有ベクトルをもつと仮定する。
このとき、次を満たす非負行列 \( C(A) \) が存在することを示せ。
|A^m| \le \rho(A)^m C(A), \quad m = 1, 2, \ldots
さらに、次の行列
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
を考え、正の固有ベクトルに関する仮定が省略できない理由を説明せよ。
8.1.P5
\( A \in M_n \) が非負であり、正の固有ベクトルをもつとする。
このとき、\( A \) は非負行列に対して対角相似であり、その行和（各行の要素の和）はすべて等しいことを示せ。
それらの行和は何に等しいかを答えよ。
8.1.P6
既約でない（すなわち還元可能な）非負行列でも、正の固有ベクトルをもつことを示す例を挙げよ。
8.1.P7
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を非負行列、\( x = [x_i] \in \mathbb{R}^n \) を正のベクトルとする。
(a)
式 (8.1.27) は次のように書き換えられることを説明せよ。
\min_{1 \le i \le n} \frac{(Ax)_i}{x_i} \le \rho(A) \le \max_{1 \le i \le n} \frac{(Ax)_i}{x_i}
(b)
式 (8.1.29) において、\( x = e \)（すべての成分が1のベクトル）とした場合、(8.1.23) の評価式が得られることを示せ。
(c)
もし \( A \) の各行の和が \( R_i = (Ae)_i \)（\( i = 1, \ldots, n \)）として正であるならば、\( x = Ae \) と置いたときに (8.1.29) から次のような改良された評価が得られることを示せ。
\min_{1 \le i \le n} R_i
\le
\min_{1 \le i \le n} \frac{1}{R_i} \sum_{j=1}^n a_{ij} R_j
\le
\rho(A)
\le
\max_{1 \le i \le n} \frac{1}{R_i} \sum_{j=1}^n a_{ij} R_j
\le
\max_{1 \le i \le n} R_i
8.1.P8
\( A, B \in M_n \) が非負行列であり、\( A \ge B \ge 0 \) であるとする。このとき、次を示せ：
\|A\|_2 \ge \|B\|_2
8.1.P9
\( A \in M_n \) とする。(8.1.18) を用いて次を示せ：
\|A\|_2 \le \||A|\|_2
8.1.P10
次のような分割をもつ行列
A = [A_{ij}]_{i,j=1}^k \in M_n
を考える。ただし各ブロック \( A_{ij} \in M_{n_i, n_j} \) であり、\( n_1 + \cdots + n_k = n \) であるとする。すべての \( M_{n_i, n_j} \) において定義されたベクトルノルム \( G(\cdot) \) が、すべての \( \mathbb{C}^{n_i} \) 上の与えられたノルム \( \|\cdot\| \)（5.7.12）と両立しているとする。さらに次を定義する：
\mathcal{A} = [G(A_{ij})] \in M_k
(a) 次を示せ。
\rho(\mathcal{A}) \le \rho(A)
(b) 不等式 \( \rho(\mathcal{A}) \le \rho(A) \) が成り立つようなベクトルノルム \( G(\cdot) \) の例をいくつか挙げ、その理由を説明せよ。
(c) (5.6.9(a)) および (8.1.18) が (a) の特別な場合であることを説明せよ。その際、それぞれの状況での分割、\( G(\cdot) \)、および \( \|\cdot\| \) を明示せよ。
8.1.P11
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を非負行列とし、\( \sigma \) を集合 \(\{1, \ldots, n\}\) の置換とする。また
\gamma = a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}
と定義する。このとき次が成り立つことを示せ：
\rho(A) \ge \gamma^{1/n}
この不等式は、ある置換 \( \sigma \) に対して \( \gamma \gt 0 \) となる場合、すなわち \( A \) のグラフが長さ \( n \) の巡回路（サイクル）を含む場合にのみ興味深い結果となる。
行列解析の総本山
コメント