[行列解析7.8.15]補題：半正定値行列の部分行列に基づく変形

7.8.15 補題：半正定値行列の部分行列に基づく変形

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を半正定値行列とし、次のように分割する：

A = \begin{bmatrix} a_{11} & x^{*} \\ x & A_{22} \end{bmatrix}, \quad A_{22} \in M_{n-1}.

次の関数 \(\alpha(A)\) を定義する：

\alpha(A) = \begin{cases} \dfrac{\det A}{\det A_{22}}, & \text{if } A_{22} \text{ is positive definite}, \\ 0, & \text{otherwise.} \end{cases}

このとき、次の行列

\tilde{A} = \begin{bmatrix} a_{11} - \alpha(A) & x^{*} \\ x & A_{22} \end{bmatrix}

もまた半正定値である。

\(A\) が特異行列である場合は示すべきことは何もない。したがって、\(A\) が正定値行列であると仮定する。

シルベスターの条件（式 (7.2.5)）を後続の主小行列式（trailing principal minors）に適用する。各 \(k = 2, \ldots, n\) に対して、後続小行列式は

\det(\tilde{A}[\{k, \ldots, n\}]) = \det(A[\{k, \ldots, n\}])

となり、すべて正である。さらに

\det \tilde{A} = \det A - \alpha(A) \det A_{22} = \det A - \det A = 0

したがって、\(\tilde{A}\) は半正定値である。□

式 (7.8.15) を用いて帰納法によりアダマールの不等式 (7.8.2) を証明せよ。

アダマールの不等式 (7.8.2) は次のように表すことができる：

\det A \le \det (I \circ A)

ここで、\(I \circ A\) は \(A\) の対角要素を保持し、非対角要素をゼロにした行列である。この不等式は、アダマールが導いた重要な結果であり、行列式と要素の積との関係を示す。次の定理は、この観察を大きく一般化したものである。