[行列解析7.5.P4]

7.5.問題4
- 7.5.P4
行列解析の総本山

7.5.問題4

7.5.P4

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が半正定値であるとする。前問より、\( A \circ \bar{A} = [|a_{ij}|^2] \) は半正定値であることが保証されるが、アダマール絶対値行列 \( |A| = [|a_{ij}|] \) についてはどうだろうか。

(a) \( A \) が正定値であると仮定する。\( n = 1, 2, 3 \) の場合、シルベスターの判定基準 (7.2.5) を用いて、\( |A| \) が正定値であることを示せ。極限を用いた議論により、\( A \) が半正定値の場合にも同様の結論が \( n = 1, 2, 3 \) に対して成立することを示せ。

(b) 問題 (7.1.P10) より、\( \cos t \) は正定値関数である。したがって、

C = [\cos(t_i - t_j)]

は、任意の \( t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{R} \) およびすべての \( n = 1, 2, \ldots \) に対して半正定値行列である。
\( n = 4 \) とし、\( t_1 = 0, t_2 = \pi/4, t_3 = \pi/2, t_4 = 3\pi/4 \) とする。このとき、\( |C| \) を計算し、それが半正定値でないことを示せ。