[行列解析7.5]問題集

7.5.問題集

7.5.P1

\( A, B \in M_n \) が半正定値行列であるとする。

次の概要に基づいて、アダマール積 \( A \circ B \) が半正定値であることを示す別証明を詳しく述べよ。

(a) 行列 \( X = [x_1 \ \cdots\ x_n],\ Y = [y_1 \ \cdots\ y_n] \in M_n \) が存在して、\( XX^{*} = A \) および \( YY^{*} = B \) が成り立つ。

(b) したがって、

A = \sum_{i=1}^{n} x_i x_i^{*}, \quad B = \sum_{i=1}^{n} y_i y_i^{*}

が成り立つ。

(c) このとき、

A \circ B = \sum_{i,j=1}^{n} (x_i x_i^{*}) \circ (y_j y_j^{*})

が成り立つ。

(d) さらに、もし \( \xi = [\xi_i],\ \eta = [\eta_i] \in \mathbb{C}^n \) ならば、

(\xi \xi^{*}) \circ (\eta \eta^{*}) = (\xi \circ \eta)(\xi \circ \eta)^{*}

が成り立ち、右辺はランク1の半正定値行列である。これにより、すべての項が半正定値であるため、和 \( A \circ B \) もまた半正定値であることがわかる。

7.5.P2

\( A, B \in M_n \) とする。\( A \) のエルミート部分 \( H(A) \) が正定値であり、\( B \) も正定値であると仮定する。

(a) \( H(A \circ B) \) が正定値であることを示せ。

(b) \( A \circ B \) が行および列の包含性（inclusion property）をもつ理由を説明せよ。

7.5.P3

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が半正定値であるとする。このとき、行列 \( [|a_{ij}|^2] \) も半正定値であることを示せ。

7.5.P4

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が半正定値であるとする。前問より、\( A \circ \bar{A} = [|a_{ij}|^2] \) は半正定値であることが保証されるが、アダマール絶対値行列 \( |A| = [|a_{ij}|] \) についてはどうだろうか。

(a) \( A \) が正定値であると仮定する。\( n = 1, 2, 3 \) の場合、シルベスターの判定基準 (7.2.5) を用いて、\( |A| \) が正定値であることを示せ。極限を用いた議論により、\( A \) が半正定値の場合にも同様の結論が \( n = 1, 2, 3 \) に対して成立することを示せ。

(b) 問題 (7.1.P10) より、\( \cos t \) は正定値関数である。したがって、

C = [\cos(t_i - t_j)]

は、任意の \( t_1, \ldots, t_n \in \mathbb{R} \) およびすべての \( n = 1, 2, \ldots \) に対して半正定値行列である。
\( n = 4 \) とし、\( t_1 = 0, t_2 = \pi/4, t_3 = \pi/2, t_4 = 3\pi/4 \) とする。このとき、\( |C| \) を計算し、それが半正定値でないことを示せ。

7.5.P5

(7.5.P4) の \( |C| \in M_4 \) を考える。\( |C| \circ |C| \) を計算し、それが半正定値であることを確かめよ。
これにより、\( B = |C| \circ |C| \) は半正定値行列であり、その非負の「アダマール平方根」が半正定値ではないことがわかる。この事実を通常の平方根 \( B^{1/2} \) の場合と比較せよ。

7.5.P6

次の行列を考える：

A = \begin{bmatrix} 10 & 3 & -2 & 1 \\ 3 & 10 & 0 & 9 \\ -2 & 0 & 10 & 4 \\ 1 & 9 & 4 & 10 \end{bmatrix}

\( A \) は正定値であるが、\( |A| \) は半正定値でないことを示せ。

7.5.P7

有限区間 \([a, b]\) 上の連続な積分核 \( K(x, y) \) を考える。

すべての点 \( x_1, \ldots, x_n \in [a, b] \) および \( n = 1, 2, \ldots \) に対して、行列 \( [K(x_i, x_j)] \in M_n \) が半正定値であることと、\( K(x, y) \) が半正定値核であることは同値であることを示せ。

7.5.P8

(7.5.P7) とシュア積定理を用いて、半正定値な積分核の通常の（点ごとの）積が半正定値であることを示せ。

7.5.P9

\( f \in C(\mathbb{R}) \) が正定値関数であることと、\( K(s, t) = f(s - t) \) が半正定値な積分核であることが同値であることを示せ。

7.5.P10

2つの正定値関数の積もまた正定値関数であることを説明せよ。

7.5.P11

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が半正定値であるならば、行列 \( [a_{ij} / (i + j)] \) も半正定値であることを示せ。

7.5.P12

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が半正定値であり、すべての要素が非零であると仮定する。

アダマール逆行列 \( A^{(-1)} = [a_{ij}^{-1}] \) を考える。

このとき、\( A^{(-1)} \) が半正定値であるのは、行列の階数が1、すなわち \( A = xx^{*} \)（ただし \( x \in \mathbb{C}^n \) のすべての成分が非零）である場合に限ることを示せ。

7.5.P13

\( A, B \in M_n \) とし、\( A \) は正定値、\( B \) は半正定値であると仮定する。\( \nu(B) \) を \( B \) の主対角要素のうち 0 でないものの個数とする。

(a) \( B \) が、ある置換行列 \( P \) によって \( 0_{n-\nu(B)} \oplus C \)（ただし \( C \in M_{\nu(B)} \) は半正定値）と置換相似であることを説明せよ。

(b) なぜ \( \nu(B) \ge \operatorname{rank} B \) が成り立つのかを説明せよ。

(c) 式 (7.5.3) を用いて、次を示せ。

\operatorname{rank}(A \circ B) \ge \nu(B) \ge \operatorname{rank} B

7.5.P14

\( A \in M_n \) が正定値であるとする。行列 \( A \circ A^{-T} = A \circ \overline{A^{-1}} \) は、化学工学のプロセス制御において「相対ゲイン配列（relative gain array）」として知られている。

(a) \( A \circ A^{-T} \) が正定値であり、その最小固有値 \( \lambda_{\min} \) が正であることを説明せよ。

(b) 式 (7.5.2) のトレース恒等式を用いて、次を示せ。

\lambda_{\min} \ge 1

7.5.P15

ヒルベルト行列 \( H_n = [1/(i + j - 1)] \in M_n \) が半正定値であることの証明の概要を次の手順に従って示せ。

(a) \( X = [\xi_{ij}] = [((i - 1)(j - 1))/(ij)] \in M_n \) は半正定値行列であり、すべての \( i, j = 1, \dots, n \) について \( 0 \le \xi_{ij} \lt 1 \) が成り立つ。

(b) \( Y = [i^{-1}j^{-1}] \in M_n \) は対角成分が正の半正定値行列である。

(c) \( Z = [1/(1 - \xi_{ij})] \) は半正定値である。

(d) 式 (7.2.5) および (0.9.12.2) を用いて、\( H_n \) が実際には正定値であることを示せ。別のアプローチについては (7.5.P22) を参照せよ。

7.5.P16

\( A \in M_n \) をエルミート行列とする。このとき、次が成り立つことを示せ。

A \text{ が半正定値である} \iff A \circ B \text{ が半正定値である（任意の半正定値 } B \in M_n に対して）.

7.5.P17

\( n_1, \dots, n_m \) を \( m \) 個の異なる正の整数とし、\( \gcd(n_i, n_j) \) をその最大公約数とする。次の行列

G = [\gcd(n_i, n_j)] \in M_m

が実対称半正定値であることを示せ。

(a) すべての整数 \( n_1, \dots, n_m \) に含まれる異なる素因数を \( 2 \le p_1 \lt \cdots \lt p_d \) とする。それぞれの \( i = 1, \dots, m \) に対し、

n_i = p_1^{\nu(i,1)} \cdots p_d^{\nu(i,d)}

と一意に表せる。

(b) このとき、

\gcd(n_i, n_j) = p_1^{\min\{\nu(i,1), \nu(j,1)\}} \cdots p_d^{\min\{\nu(i,d), \nu(j,d)\}}

(c) 各行列 \([ \min\{\nu(i,k), \nu(j,k)\} ]\), \(k = 1, \dots, d\) は半正定値である。

(d) 各行列

G_k = [p_k^{\min\{\nu(i,k), \nu(j,k)\}}]_{i,j=1}^m

も半正定値である。

(e) よって、

G = G_1 \circ G_2 \circ \cdots \circ G_d

が成り立つ。

7.5.P18

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を半正定値とし、\( B_t = [e^{t a_{ij}}] \) とする。すべての \( t \gt 0 \) に対して \( B_t \) が半正定値であることを示せ。また、次の条件が同値であることを証明せよ。

(a) \( B_1 = [e^{a_{ij}}] \) が特異である。

(b) \( 0 \neq x \in \mathbb{C}^n \) が存在して、すべての \( t \gt 0 \) に対し \( B_t x = 0 \) である。

(c) すべての \( t \gt 0 \) に対し \( B_t \) が特異である。

ヒント：\( x \neq 0 \) かつ \( x^*B_1x = 0 \) ならば、

0 = x^*B_1x = x^*J_nx + x^*Ax + \frac{1}{2!}x^*A^{(2)}x + \cdots

したがって \( x^*J_nx = 0 \) および \( x^*A^{(k)}x = 0 \) がすべての \( k = 1, 2, \dots \) について成り立つ。よって、

0 = x^*B_tx = x^*J_nx + tx^*Ax + \frac{t^2}{2!}x^*A^{(2)}x + \cdots

となるため、すべての \( t \gt 0 \) で \( B_t x = 0 \) が成り立つ。

7.5.P19

次の \( 2 \times 2 \) 行列を考える。

A = \begin{bmatrix} \alpha_1 & \beta \\ \overline{\beta} & \alpha_2 \end{bmatrix} \in M_2

\( A \) が半正定値であるとき、

B = \begin{bmatrix} e^{\alpha_1} & e^{\beta} \\ e^{\overline{\beta}} & e^{\alpha_2} \end{bmatrix}

も半正定値である。

\( B \) が特異であるのは、かつてない場合 \( \alpha_1 = \alpha_2 = \beta \) のとき、かつそのときに限ることを示せ。

(a) \(\det B = 0 \Rightarrow \alpha_1 + \alpha_2 = 2\operatorname{Re}\beta \Rightarrow (\alpha_1^2 + \alpha_2^2)/2 = 2(\operatorname{Re}\beta)^2 - \alpha_1\alpha_2.\)

(b) \( A \) が半正定値であるためには \( \alpha_1\alpha_2 \ge |\beta|^2 \) が必要である。

(c) 算術平均–幾何平均の不等式から次が成り立つ。

2(\operatorname{Re}\beta)^2 - \alpha_1\alpha_2 = \frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{2} \ge \alpha_1\alpha_2 \ge (\operatorname{Re}\beta)^2 + (\operatorname{Im}\beta)^2

(d) これより \((\operatorname{Re}\beta)^2 \ge \alpha_1\alpha_2 + (\operatorname{Im}\beta)^2 \ge (\operatorname{Re}\beta)^2 + 2(\operatorname{Im}\beta)^2\) となり、したがって \(\operatorname{Im}\beta = 0\) および \(\alpha_1 + \alpha_2 = 2\beta\) が導かれる。

(e) (7.5.10)および(b)から次が得られる。

\beta^2 \ge 2\beta^2 - \alpha_1\alpha_2 = \frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{2} \ge \alpha_1\alpha_2 \ge \beta^2

よって、算術平均と幾何平均の不等式の等号成立条件から \(\alpha_1 = \alpha_2\) が結論される。

7.5.P20

\( n \ge 2 \) とし、\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が半正定値であるとする。

もし異なる \( p, q \in \{1, \dots, n\} \) が存在して \( a_{pp} = a_{qq} = a_{pq} = \alpha \) が成り立つならば、\( A \) の p 行目と q 行目は同一であることを示せ。

7.5.P21

\( n \ge 2 \)、\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が半正定値であり、\( B = [e^{a_{ij}}] \) をそのアダマール指数行列とする。\( B \) は半正定値である。我々は \( B \) が正定値であることと \( A \) の行がすべて異なることが同値であると主張する。等価な主張として「\( B \) が特異であることは、\( A \) の二行が同一であることと同値である」と言える。

後者の条件の十分性は明らかであるので、\( B \) が特異であると仮定し、次の証明の概要に従って \( A \) の二行が同一であることを示す。

(a) \( B_t = [e^{t a_{ij}}] \) とする。問題 (7.5.P18) から \( B_t \) はすべての \( t > 0 \) に対して半正定値かつ特異であることが分かる。

\( D_t = \operatorname{diag}(e^{-t a_{11}/2}, \dots, e^{-t a_{nn}/2}) \) とすると、\( C_t = D_t B_t D_t = [e^{-t(a_{ii}+a_{jj}-2a_{ij})/2}] \) はすべての \( t > 0 \) で特異な相関行列である。

(b) 任意の \( i,j \in \{1, \dots, n\} \) に対して \( b_{ii}b_{jj} \ge |b_{ij}|^2 \) が成り立つことが知られている。

もしすべての異なる \( i,j \) に対して厳密不等式 \( b_{ii}b_{jj} > |b_{ij}|^2 \) が成り立てば、\( e^{a_{ii}+a_{jj}} > e^{2 \operatorname{Re} a_{ij}} \) となり、すべての異なる \( i,j \) で \( a_{ii}+a_{jj}-2\operatorname{Re} a_{ij} > 0 \) となる。

したがって \( t \to \infty \) のとき \( C_t \to I_n \) となり、十分大きな \( t \) に対して \( C_t \) は非特異となる。

この矛盾から、異なる \( p,q \in \{1, \dots, n\} \) が存在して \( b_{pp}b_{qq} = |b_{pq}|^2 \) が成り立つ、すなわち \( B \) の主部分行列

\begin{bmatrix} b_{pp} & b_{pq} \\ b_{qp} & b_{qq} \end{bmatrix}

が特異である。

(c) 問題 (7.5.P19) により \( a_{pp} = a_{qq} = a_{pq} \) が成り立ち、さらに問題 (7.5.P20) により \( A \) の p 行と q 行は同一である。

7.5.P22

(7.5.P15) を再考し、(7.5.P18) の考え方を用いてヒルベルト行列 \( H_n \) が正定値であることを示す。

(a) \( Z = J_n + X + X^{(2)} + X^{(3)} + \cdots \) は半正定値である。

(b) \( x \in \mathbb{C}^n \) が 0 でなく \( x^* Z x = 0 \) を満たすならば、すべての \( k = 1, 2, \dots \) について \( x^* J_n x = 0 \) および \( x^* X^{(k)} x = 0 \) が成り立つ。したがって \( J_n x = 0 \) および \( X^{(k)} x = 0 \) もすべての \( k \) で成り立つ。

(c) \( \alpha_j = (j-1)/j \) とすると、次が成り立つことを説明せよ。

\sum_{i=1}^n x_i = 0 \quad \text{および} \quad \sum_{i=1}^n \alpha_i^k x_i = 0 \text{ がすべての } k = 1,2,\dots

(d) なぜこれから \( x = 0 \) が導かれるのか？ (e) よって \( H_n \) は正定値である。

7.5.P23

\( z_1, \dots, z_n \) を異なる複素数とする。

(a) \( [e^{z_i \overline{z_j}}] \) および \( [\cosh(z_i \overline{z_j})] \) が正定値であることを示せ。

(b) \( f(z) = (1-z^3)^{-1} \) とし、各 \( i = 1, \dots, n \) で \( |z_i| < 1 \) であるとき、\( [f(z_i \overline{z_j})] \) が正定値であることを示せ。

7.5.P24

\( A, B = [b_{ij}] \in M_n \) が半正定値であるとする。

(a) 式 (7.5.3(b)) の証明を調べ、なぜ \( \lambda_{\min}(A \circ B) \ge \lambda_{\min}(A) \min\{b_{ii}\} \) が成り立つかを説明せよ。これは \( A \) が正定値で \( B \) の主対角成分が正の場合に有用である。

(b) \( \lambda_{\max}(A \circ B) \le \lambda_{\max}(A) \max\{b_{ii}\} \) が成り立つことを示せ。これは追加の仮定なしで有用である。

7.5.P25

\( A \in M_n \) が半正定値、\( z \in \mathbb{C}^n \)、\( c \in \mathbb{R} \)、\( e \in \mathbb{R}^n \) を全ての成分が 1 のベクトルとする。

\( B = [b_{ij}] = A + z e^* + e z^* + c J_n \) と定義する。

(a) \( B \) はエルミートであるが、半正定値であるとは限らないことを説明せよ。

(b) アダマール指数行列 \( H = [e^{b_{ij}}] \) が半正定値であることを示せ。さらに \( A \) に二行が等しくない限り \( H \) は正定値である。

(c) \( x \in \mathbb{C}^n \) が \( x^* e = 0 \) を満たすなら、\( x^* B x \ge 0 \) が成り立つことを示せ。この行列 \( B \) は条件付き半正定値であり、条件とは \( x \) が \( \mathbb{C}^n \) の (n−1) 次元部分空間に属し、ベクトル \( e \) に直交することである。

参考文献：

行列の要素積に対するノルムおよび固有値の境界の最初の体系的研究は I. Schur による "Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlic vielen Veränderlichen", J. Reine Angew. Math. 140 (1911) 1–28 にある。

(7.5.3) および (7.5.P24) の結果はこの論文の Satz VII にあたる。定理 7.5.4 は 1894 年 Th. Moutard により発表され、L. Fejér は 1918 年にそれが Schur 積定理を含意することを認識した。J. Hadamard は 1899 年に解析関数のマクローリン級数の項ごとの積を研究した。

アダマール積の簡単な歴史的概観は Horn と Johnson (1991) の第 5 章 0 節を参照のこと。

問題 (7.5.P25) は半正定値行列よりも大きなクラスのエルミート行列で、アダマール指数が半正定値であることを示している。この点の議論およびアダマール積の詳細な取り扱いは Horn と Johnson (1991) の第 5 章および 6.3 節を参照のこと。