7.4.8 キーファンの優越定理（Ky Fan’s Dominance Theorem）
\( k \)-ノルム族（式 (5.2.5)）は、ユニタリ不変ノルムの理論において特別な役割を果たす対称ゲージ関数である。対応するユニタリ不変ノルムは キーファンの \( k \)-ノルム と呼ばれ、次のように表される。
\|A\|_{[k]} = \sigma_{1}(A) + \cdots + \sigma_{k}(A)\\
\quad k = 1, \ldots, q = \min\{m, n\}
ここで、\(\|\cdot\|\) が \( M_{m,n} \) 上のユニタリ不変ノルムであるとし、前節で述べたようにそれに対応する対称ゲージ関数を \( g \) とする。この記法を用いると、任意の \( A \in M_{m,n} \) に対して次が成り立つ。
\|A\| = g(s(A)) = \max_{g_{D}(y)=1} \operatorname{Re}(y^{*} s(A))
= \max_{g_{D}(s(\Phi))=1} \sum_{i=1}^{q} \sigma_{i}(A)\sigma_{i}(\Phi)
部分和の変形（summation by parts）を用いると、次の恒等式が得られる。
\begin{align}
& \sum_{i=1}^{q} \sigma_{i}(A)\sigma_{i}(\Phi) \notag \\
& = \sigma_{1}(\Phi)\sigma_{1}(A)
+ \sum_{i=2}^{q-1} \bigl( \bigl( \sigma_{i}(\Phi) - \sigma_{i+1}(\Phi) \bigr)
\sum_{j=1}^{i} \sigma_{j}(A) \bigr)
+ \sigma_{q}(\Phi)\sum_{j=1}^{q} \sigma_{j}(A) \notag \\
& = \sigma_{1}(\Phi)\|A\|_{[1]}
+ \sum_{i=2}^{q-1} \left( \sigma_{i}(\Phi) - \sigma_{i+1}(\Phi) \right)
\|A\|_{[i]}
+ \sigma_{q}(\Phi) \|A\|_{[q]} \notag \\
\end{align}
したがって、これをキーファンノルムを用いて書き直すと次のようになる。
\sum_{i=1}^{q} \sigma_{i}(A)\sigma_{i}(\Phi)
= \sigma_{1}(\Phi)\|A\|_{[1]}
+ \sum_{i=2}^{q-1} \bigl( \sigma_{i}(\Phi) - \sigma_{i+1}(\Phi) \bigr) \|A\|_{[i]}
+ \sigma_{q}(\Phi)\|A\|_{[q]}
ここで、\(\sigma_{1}(\Phi) \ge 0\)、各 \(\sigma_{i}(\Phi) - \sigma_{i+1}(\Phi) \ge 0\)、および \(\sigma_{q}(\Phi) \ge 0\) であることに注意する。したがって、\(B \in M_{m,n}\) が存在して、すべての \(k = 1, \ldots, q\) に対して \(\|A\|_{[k]} \le \|B\|_{[k]}\) が成り立つならば、
\sum_{i=1}^{q} \sigma_{i}(A)\sigma_{i}(\Phi)
\le
\sum_{i=1}^{q} \sigma_{i}(B)\sigma_{i}(\Phi)
よって次が導かれる。
\|A\| = \max_{g_{D}(s(\Phi))=1} \sum_{i=1}^{q} \sigma_{i}(A)\sigma_{i}(\Phi)
\le
\max_{g_{D}(s(\Phi))=1} \sum_{i=1}^{q} \sigma_{i}(B)\sigma_{i}(\Phi)
= \|B\|
この議論により、もし各 \(k = 1, \ldots, q\) に対して \(\|A\|_{[k]} \le \|B\|_{[k]}\) が成り立つなら、任意のユニタリ不変ノルム \(\|\cdot\|\) に対して \(\|A\| \le \|B\|\) が成り立つことがわかる。
逆に、すべてのユニタリ不変ノルム \(\|\cdot\|\) に対して \(\|A\| \le \|B\|\) が成り立つなら、この不等式は必ず \(M_{m,n}\) 上のキーファン \(k\)-ノルムに対しても成り立たなければならない。これらの結論を次の定理としてまとめることができる。
行列解析の総本山
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