系 7.4.1.3（特異値に関する不等式と等式条件）
\( A, B \in M_{m,n} \) とし、\( q = \min\{m, n\} \) とする。また、\( A \) と \( B \) の特異値をそれぞれ非増加順に並べたものを \( \sigma_1(A) \ge \cdots \ge \sigma_q(A) \)、および \( \sigma_1(B) \ge \cdots \ge \sigma_q(B) \) とする。このとき次が成り立つ。
(a)
\|A - B\|_2^2 \ge \sum_{i=1}^{q} (\sigma_i(A) - \sigma_i(B))^2
(b)
\sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A) =
\begin{cases}
\displaystyle \max_{\text{unitary } U \in M_n} \Re \operatorname{tr}(AU), & \text{if } m \le n,\\[1em]
\displaystyle \max_{\text{unitary } U \in M_m} \Re \operatorname{tr}(UA), & \text{if } m \ge n
\end{cases}
(c)
\sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)\sigma_i(B)
= \max \{ \Re \operatorname{tr}(A^T B^* U) : T \in M_n, U \in M_m \text{ are unitary} \}
(d)
\sum_{i=1}^{q} \sigma_i(AB^*) \le \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)\sigma_i(B)
証明
(a) フロベニウス内積と (7.4.1.2) を用いると、
\|A - B\|_2^2 = \langle A - B, A - B \rangle_F = \langle A, A \rangle_F - \langle A, B \rangle_F - \langle B, A \rangle_F + \langle B, B \rangle_F
これを展開すると、
\|A - B\|_2^2
= \sum_{i=1}^{q} \sigma_i^2(A) - 2 \Re \operatorname{tr}(AB^*) + \sum_{i=1}^{q} \sigma_i^2(B)
\ge \sum_{i=1}^{q} \sigma_i^2(A) - 2 \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)\sigma_i(B) + \sum_{i=1}^{q} \sigma_i^2(B)
= \sum_{i=1}^{q} (\sigma_i(A) - \sigma_i(B))^2
(b) まず \( m \le n \) の場合、\( A = \begin{bmatrix} A \\ 0 \end{bmatrix} \in M_n \) として (7.4.1.2) を用いると、
\Re \operatorname{tr}(AU) = \Re \operatorname{tr}(AU) \le \sum_{i=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_i(U^*) = \sum_{i=1}^{n} \sigma_i(A) = \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)
もし \( A = P U \) が極分解（polar factorization）であれば、\( \Re \operatorname{tr}(A U^*) = \Re \operatorname{tr} P = \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A) \) なので、上限が達成される。
次に \( m \ge n \) の場合、\( A = [A \ 0] \in M_m \) として同様に (7.4.1.2) を用いると、
\Re \operatorname{tr}(UA) = \Re \operatorname{tr}(UA) \le \sum_{i=1}^{m} \sigma_i(U)\sigma_i(A^*) = \sum_{i=1}^{m} \sigma_i(A) = \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)
もし \( A = UQ \) が極分解なら、\( \Re \operatorname{tr}(U^*A) = \Re \operatorname{tr} Q = \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A) \) なので、ここでも上限が達成される。
(c) (7.4.1.2) を用いて次のように計算する：
\Re \operatorname{tr}(A^T B^* U) \le \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A^T)\sigma_i(U^*B)
= \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)\sigma_i(B)
\( A = V_1 \Sigma_1 W_1^* \)、\( B = V_2 \Sigma_2 W_2^* \) を特異値分解とし、それぞれの対角成分が \( \sigma_1(A) \ge \cdots \ge \sigma_q(A) \)、および \( \sigma_1(B) \ge \cdots \ge \sigma_q(B) \) であるとする。このとき、\( T = W_1 W_2^* \)、\( U = V_2 V_1^* \) とおくと、
A^T B^* U = V_1 \Sigma_1 \Sigma_2^T V_1^*
となり、そのトレースは \(\sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)\sigma_i(B)\) となるため、上限が達成される。
(d) \( AB^* = P U \) が極分解であるとする。このとき、
\sum_{i=1}^{q} \sigma_i(AB^*) = \operatorname{tr} P = \Re \operatorname{tr}(AB^*U)
\le \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)\sigma_i(U^*B) = \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)\sigma_i(B)
以上で証明が完了する。
前述の系 (b) の結果により、任意の \( A \in M_{m,n} \) に対して \(\Re \operatorname{tr} A \le \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)\) が成り立つ。しかし、ある応用では等号成立の場合を特定することが重要である。たとえば、もし \( A \) が正方行列であれば、次の定理により、\(\Re \operatorname{tr} A = \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)\) が成り立つのは、\( A \) が半正定値である場合に限られることが示される。
行列解析の総本山
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