[行列解析7.3.P29]行列の極分解の例題

7.3.問題29

前の二つの問題を用いて、次の行列の左・右極分解を計算せよ：

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

次の行列について、左極分解と右極分解を求める。

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

極分解には、左極分解と右極分解の2種類がある。

\text{左極分解： } A = QH, \quad Q^\ast Q = I, \quad H = (A^\ast A)^{1/2} \\ \text{右極分解： } A = KQ, \quad Q Q^\ast = I, \quad K = (A A^\ast)^{1/2}

A^\ast = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\\ A^\ast A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A A^\ast = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

(A^\ast A)^{1/2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ (A A^\ast)^{1/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

まず \(H = (A^\ast A)^{1/2}\) より、

H = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

擬逆 \(H^+\) を用いて \(Q = A H^+\) とすると、

H^+ = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \\ Q = A H^+ = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

したがって、左極分解は次のようになる。

A = QH = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

次に \(K = (A A^\ast)^{1/2}\) より、

K = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

擬逆 \(K^+\) を用いて \(Q = K^+ A\) とすると、

K^+ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ Q = K^+ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

したがって、右極分解も次のようになる。

A = KQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

最終的な結果を以下にまとめる。

\text{左極分解： } A = QH, \quad Q = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \; H = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \text{右極分解： } A = KQ, \quad K = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \; Q = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

この行列 \(A\) はランク1の非正則行列であり、極分解は一意ではないが、非零部分空間上では符号反転と射影の積として表現される。