7.3.1定理（極分解）
\( A \in M_{n,m} \) とする。
(a) \( n \lt m \) の場合、\( A = PU \) と分解できる。ただし、\( P \in M_n \) は半正定値行列であり、\( U \in M_{n,m} \) は行が直交正規化されている行列である。このとき、因子 \( P = (AA^{*})^{1/2} \) は一意に定まり、\( AA^{*} \) の多項式として表される。さらに、もし \(\operatorname{rank} A = n\) であれば、\( U \) も一意に定まる。
(b) \( n = m \) の場合、\( A = PU = UQ \) と分解できる。ただし、\( P, Q \in M_n \) はともに半正定値行列であり、\( U \in M_n \) はユニタリ行列である。このとき、\( P = (AA^{*})^{1/2} \) および \( Q = (A^{*}A)^{1/2} \) は一意に定まり、\( P \) は \( AA^{*} \) の多項式、\( Q \) は \( A^{*}A \) の多項式である。もし \( A \) が正則であれば、\( U = P^{-1}A = AQ^{-1} \) は一意に定まる。
(c) \( n \gt m \) の場合、\( A = UQ \) と分解できる。ただし、\( Q \in M_m \) は半正定値行列であり、\( U \in M_{n,m} \) は列が直交正規化されている行列である。このとき、\( Q = (A^{*}A)^{1/2} \) は一意に定まり、\( A^{*}A \) の多項式として表される。さらに、もし \(\operatorname{rank} A = m\) であれば、\( U \) も一意に定まる。
(d) \( A \) が実行列である場合、(a)、(b)、(c) に現れる因子 \( P, Q, U \) はすべて実行列としてとることができる。
証明
(2.6.3) の記法を用いる。この記法により、ユニタリ行列 \( V \in M_n \)、\( W \in M_m \)、および特別な構造をもつ非負の対角行列 \( \Sigma \in M_{n,m} \) が存在し、 次のように表せる：
A = V \Sigma W^{*}
ここで、\( q = \min\{n, m\} \) とし、(2.6.3.1) で定義された特異値の対角行列を \( \Sigma_q \in M_q \) とする。
(a) \( W = [W_1 \; W_2] \) と分割し、\( W_1 \in M_{m,n} \) とする。このとき、
A = V \Sigma W^{*} = V[\Sigma_n \; 0]W^{*}
= V\Sigma_n W_1^{*} = (V\Sigma_n V^{*})(V W_1^{*})
= PU
ここで \( P = V\Sigma_n V^{*} \) は半正定値行列であり、\( U = V W_1^{*} \) は行が直交正規化されている。さらに、
P^{2} = V\Sigma_n \Sigma_n V^{*} = V \Sigma \Sigma^{T} V^{*}
= (V\Sigma W^{*})(W \Sigma^{T} V^{*})
= AA^{*}
したがって \( P \) は \( AA^{*} \) の半正定値平方根（多項式関数として）として一意に定まる（式(7.2.6)参照）。 もし \(\operatorname{rank} A = n\) ならば、\(\Sigma_n\) および \(P\) は正定値であるため、\( U = P^{-1}A \) は一意に定まる。
(b) \(\Sigma = \Sigma_n\) とおくと、
A = V\Sigma W^{*} = (V\Sigma V^{*})(V W^{*})
= (V W^{*})(W\Sigma W^{*})
したがって、\( P = V\Sigma V^{*} \)、\( Q = W\Sigma W^{*} \)、および \( U = V W^{*} \) とおくことで、所望の分解が得られる。
P^{2} = AA^{*}, \quad Q^{2} = A^{*}A
したがって、\( P \) および \( Q \) はそれぞれ \( AA^{*} \) および \( A^{*}A \) の半正定値平方根（多項式関数として）として一意に定まる。 もし \( A \) が正則であれば、\( U = P^{-1}A = AQ^{-1} \) は一意に定まる。
(c) \( A^{*} \) に対して (a) を適用すればよい。
(d) 補題 (2.6.7) より、\( A \) が実行列であれば、ユニタリ因子 \( V \) と \( W \) は実直交行列として選ぶことができる。このとき、\( P \) および \( Q \) も実行列となる。
演習
(1) \( x \in \mathbb{C}^n = M_{n,1} \) をゼロでないベクトルとする。その極分解は次のように表されることを示せ：
x = up
ただし \( p = \|x\|_2 \gt 0 \)、\( u = x / \|x\|_2 \) である。
(2) \( A \in M_n \) とする。極分解を用いて、\( AA^{*} \) が \( A^{*}A \) とユニタリ相似であることを示せ。どのユニタリ行列がこの相似を与えるかを述べよ。
極分解における半正定値因子の一意性は、多くの重要な帰結をもつ。そのひとつ（式(7.3.P33)参照）は、特異値分解の「薄い形（thin SVD）」を導く動機となる。この形では、任意のユニタリ行列が \( A^{*}A \) を対角化するならば、それを \( A \) の特異値分解における右ユニタリ因子として使用できることを示している。
行列解析の総本山
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