[行列解析7.2.P31]

7.2.問題31
- 7.2.P31　
行列解析の総本山

7.2.問題31

7.2.P31　

\( A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbb{R}) \) を対称かつ正定値行列とし、非対角成分 \( i \ne j \) について \( a_{ij} \le 0 \) とする。このとき \( A^{-1} \) の成分は全て非負であることを示す。

(a) 固有値を \( 0 \lt \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n \) と順序付け、\(\mu \ge \max\{\lambda_n, \max_i a_{ii}\}\) とする。すると \( B = \mu I - A \) は非負の成分を持ち、固有値は \( \mu - \lambda_1 \ge \cdots \ge \mu - \lambda_n \ge 0 \) となる。

(b) スペクトル半径は \(\rho(B) = \mu - \lambda_1 \lt \mu\) である。

(c) \( A^{-1} = \mu^{-1} (I - \mu^{-1} B)^{-1} = \mu^{-1} \sum_{k=0}^{\infty} \mu^{-k} B^k \ge 0 \) である。
一般化（より弱い仮定でも同様の結論）は 8.3.P15 を参照。