[行列解析7.2.P9]

7.2.問題9
- 7.2.P9　
行列解析の総本山

7.2.問題9

7.2.P9　

式 (7.2.7) の表現は、常に行が直交しフルランクの行列 \( B \) を用いて達成できる。

(a) \( A \in M_n \) が半正定値であり、\( r = \operatorname{rank} A \) とする。\( A = U \Sigma U^* \) と表すとき、\( U \) はユニタリ、\( \Sigma = \Sigma_r \oplus 0_{n-r} \)、\(\Sigma_r\) は正の対角行列とする。\( U = [U_1 \ U_2] \) と \(\Sigma\) に応じて分割せよ。このとき \( A = B^* B \) と書け、ここで \( B = \Sigma_r^{1/2} U_1^* \in M_{r,n} \) は行が直交かつフルランクであることを示せ。

(b) これにより、ランク1の半正定値行列は常に \( x x^* \) の形に書けることがわかる。