7.2 問題集
7.2.P1
\( A \in M_n \) をエルミート行列とする。
すべての \( k = 1, 2, \ldots \) に対して \( A^{2k} \) が半正定値であること、また \( e^{A} \) が正定値であることを示せ。
式 (5.6.15) の後の本文および演習を参照せよ。
7.2.P2
\( A \in M_n \) を半正定値行列、\( x \in \mathbb{C}^n \) とする。このとき、
x^{*} A x = \| A^{1/2} x \|^{2}
が成り立つことを示し、この恒等式から式 (7.1.6) を導け。
7.2.P3
\( A = [\min\{i, j\}]_{i,j=1}^{n} \) とし、\( R \) を主対角上およびその上の成分がすべて +1 である \( n \times n \) 上三角行列とする。
(a) \( A = R^{T} R \)（すなわち \( A \) の LU 分解）が成り立つことを示し、これより \( A \) が正定値であることを結論せよ。
(b) \( R^{-1} \) が、主対角成分が +1、第一上副対角成分が −1 である上二重対角行列であることを示せ。
(c) \( A^{-1} = R^{-1} R^{-T} \) が、主対角成分が +2、第一下副対角および第一上副対角成分が −1 である三重対角行列であることを示せ。
7.2.P4
\( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その首座主小行列式（leading principal minor）がすべて正であるとする。
このとき、(3.5.6b) で述べた \( A \) の LDU 分解において、\( U = L^{*} \)、かつ \( D \) が正の対角行列であることを示せ。
分解式 \( A = L D L^{*} \) を用いて、交差理論（interlacing）を用いない形で (7.2.5b) の証明を与えよ。
7.2.P5
(a) 次の行列
L_1 =
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
1 & \sqrt{3}
\end{bmatrix}
が、正定値行列
A_1 =
\begin{bmatrix}
4 & 2 \\
2 & 4
\end{bmatrix}
のコレスキー分解 (7.2.9) を与えることを確かめよ。また、
4 \cdot 4 \ge 2^{2} \cdot (\sqrt{3})^{2} = \det A_1
が成り立つことを示せ。
(b) \( A = [a_{ij}] \in M_n \) を正定値行列とし、\( A = L L^{*} \) をコレスキー分解とする。ここで \( L = [c_{ij}] \) とし、\( j \gt i \) のとき \( c_{ij} = 0 \) とする。 次を示せ：
\det A = c_{11}^{2} \cdot c_{22}^{2} \cdots c_{nn}^{2}
また各 \( a_{ii} \) について次が成り立つことを示せ：
a_{ii} = |c_{i1}|^{2} + |c_{i2}|^{2} + \cdots + |c_{i,i-1}|^{2} + c_{ii}^{2} \ge c_{ii}^{2}
等号が成り立つのは、各 \( k = 1, \ldots, i - 1 \) に対して \( c_{ik} = 0 \) のとき、かつそのときに限る。これをもとに、ハダマードの不等式
\det A \le a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}
を導け。等号が成り立つのは \( A \) が対角行列のとき、かつそのときに限る。
7.2.P6
\( n \ge 2 \) とし、\( A \in M_n \) をエルミート行列、\( B \in M_{n-1} \) を \( A \) の首座主小行列とする。もし \( B \) が半正定値かつ \(\operatorname{rank} B = \operatorname{rank} A\) であるならば、\( A \) も半正定値であることを示せ。
7.2.P7
エルミート行列 \( A \) が負定値（または負半正定値）であるための、すべての小行列式の符号に関する必要十分条件を述べよ。
7.2.P8
正半定値または正定値行列は、エルミートであっても必ずしも半正定値でない平方根を持つことがある。また、非エルミートの平方根を持つこともある。次の行列の平方を計算せよ：
\begin{bmatrix}
a & b \\
-\frac{a^2}{b} & -a
\end{bmatrix}, \quad a,b \in \mathbb{C},\ b \neq 0
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
7.2.P9
式 (7.2.7) の表現は、常に行が直交しフルランクの行列 \( B \) を用いて達成できる。
(a) \( A \in M_n \) が半正定値であり、\( r = \operatorname{rank} A \) とする。\( A = U \Sigma U^* \) と表すとき、\( U \) はユニタリ、\( \Sigma = \Sigma_r \oplus 0_{n-r} \)、\(\Sigma_r\) は正の対角行列とする。\( U = [U_1 \ U_2] \) と \(\Sigma\) に応じて分割せよ。このとき \( A = B^* B \) と書け、ここで \( B = \Sigma_r^{1/2} U_1^* \in M_{r,n} \) は行が直交かつフルランクであることを示せ。
(b) これにより、ランク1の半正定値行列は常に \( x x^* \) の形に書けることがわかる。
7.2.P10
\( A \in M_n \) とする。定理 4.1.7 によれば、\( A \) はエルミート行列を用いて \( A^* \) と相似であることは、\( A \) が実行列と相似であることと同値である。さらに、\( A \) がエルミート正定値行列を用いて \( A^* \) と相似であることは、\( A \) が実対角行列と相似であることと同値であることを示せ。
7.2.P11
\( A \in M_n \) をエルミート行列とする。
(a) \( A \) が正定値であることは、\(\operatorname{adj} A\) が正定値かつ \(\det A \gt 0\) であることと同値であることを示せ。
(b) \( n \) が奇数の場合、\(\operatorname{adj}(-I_n)\) が半正定値であることを示せ。このことから、(a) の行列式条件は省略できないことがわかる。
(c) \( A \) が半正定値なら、\(\operatorname{adj} A\) が半正定値であり、\(\det A \ge 0\) であることを示せ。
(d) \(\operatorname{adj} A\) が半正定値かつ \(\det A \ge 0\) であっても、\( A \) が半正定値であるとは限らないことを例で示せ。
7.2.P12
\( r \in \mathbb{C} \) を 0 でない複素数とし、対称テプリッツ行列（マルコフ行列とも呼ばれる）を
M(r,n) = [ r^{|i-j|} ]_{i,j=1}^{n} \in M_n(\mathbb{R})
とする。次を評価せよ：\( D_n = \det M(r,n) \)。
(a) \( M_{ij} \) を、行\( i\) 列\(j\) を削除した \( M(r,n) \) の小行列とする。もし \(|i-j|\ge 2\) なら \(\det M_{ij} = 0\) であることを示し、\(\operatorname{adj} M(r,n)\) が三重対角かつ対称である理由を説明せよ。
(b) \( D_2 = 1 - r^2 \) を示し、(a) を用いて、第一行の余因子展開により \( D_{n+1} = D_n - r^2 D_n = (1 - r^2) D_n = (1 - r^2)^n \) を示せ。
(c) \( n \ge 2 \) の場合、\( r \neq 0, \pm 1 \) に対して \( M(r,n) \) は正則であることを結論せよ。
(d) \( r \in (-1,1) \) および \( n \ge 2 \) の場合、(7.2.5) を用いて \( M(r,n) \) が正定値であることを示せ。
(e) \( f(t) = e^{-|t|} \) が \(\mathbb{R}\) 上の正定値関数であることを示せ（7.1.P7 を参照）。
7.2.P13
もし \( r = \pm 1 \) であるなら、前問のマルコフ行列 \( M(r,n) \) が対称かつ三重対角の逆行列を持つ理由を説明せよ。また、\((1 - r^2) M(r,n)^{-1}\) の主対角以外の成分がすべて \(−r\) であり、主対角の成分が \(1, 1 + r^2, …, 1 + r^2, 1\) であることを示せ。
7.2.P14
\( r \in \mathbb{C} \) を 0 でない複素数とし、対称テプリッツ行列（ガウス行列とも呼ばれる）
G(r,n) = [ r^{(i-j)^2} ]_{i,j=1}^{n} \in M_n
を考える。次の手順で \( D_n = \det G(r,n) \) を評価せよ：
(a) \( j = n, n-1, …, 2 \) に対して、列 \( j-1 \) を \( r^{2j-3} \) 倍して列 \( j \) から引くことで、位置 (1,2), …, (1,n) の要素を 0 にする。もし \(\min\{i,j\} \ge 2\) なら、位置 (i,j) の新しい要素は元の要素の \( 1 - r^{2(i-1)} \) 倍である。
(b) この消去操作を n-2 回繰り返し、下三角行列を得る。
(c) これにより \( D_n = \prod_{k=1}^{n-1} (1 - r^{2k}) D_{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (1 - r^{2k})^{n-k} \) であることがわかる。
(d) \( n \ge 2 \) の場合、\( r \neq 0 \) かつ \( r \notin \{ z \in \mathbb{C} : z^{2k} = 1, k = 1, …, n-1 \} \) なら、\( G(r,n) \) は正則である。
(e) \( r \in (-1,1) \) かつ \( n \ge 2 \) の場合、(7.2.5) を用いて \( G(r,n) \) が正定値であることを示せ。
(f) 関数 \( f(t) = e^{-t^2} \) が \(\mathbb{R}\) 上の正定値関数であることを示せ。
7.2.P15
\( A \in M_n \) を半正定値とし、固有値を \(\mu_1 \le \cdots \le \mu_n\) とする。\( z \in \mathbb{C}^n \) は 0 でないベクトルとする。
(a) 恒等式を確認せよ：
A + z z^* =
\begin{bmatrix} A^{1/2} \\ z^* \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} A^{1/2} & z \end{bmatrix}, \quad
\begin{bmatrix} A^{1/2} & z \\ z^* & 0 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} A & A^{1/2} z \\ z^* A^{1/2} & z^* z \end{bmatrix}
後者の行列を \( B \) とし、固有値を \(\lambda_1 \le \lambda_2 \le … \le \lambda_n \le \lambda_{n+1}\) とする。
(b) (1.3.22) から、\(\lambda_2 \le … \le \lambda_n \le \lambda_{n+1}\) が \( A + z z^* \) の固有値であり、\(\lambda_1 = 0\) であることを導け。
(c) (4.3.9) および (4.3.17) により、交互不等式
\(\lambda_1 \le \mu_1 \le \lambda_2 \le \mu_2 \le … \le \mu_{n-1} \le \lambda_n \le \mu_n \le \lambda_{n+1}\)
が成り立つ理由を説明せよ。
(d) (4.3.9) および (4.3.17) が互いに含意する理由を説明せよ。
7.2.P16
\( A \in M_n \) を正定値で、スカラー行列でないとする。スペクトルノルムに対する条件数 \(\kappa(A + t I)\) が \( t \in [0, \infty) \) に関して単調減少かつ凸関数であることを示せ。
7.2.P17
\( A, B \in M_n \) とし、\( A \) が正定値であるとする。このとき
C = A + B + B^* + B A^{-1} B^*
が半正定値であることを示せ。\( n = 1 \) の場合、\( C \) は何であり、なぜ非負であるかを説明せよ。
7.2.P18
\( A \in M_n \) が正則である場合、次の行列
B = A + A^{-*}
が正則であることを示せ。
7.2.P19
\( A \in M_n \) を正定値、\( x \in \mathbb{C}^n \) を単位ベクトルとする。
(a) \((x^* A x)^{-1} \le x^* A^{-1} x\) であり、等号成立条件は \( x \) が \( A \) の固有ベクトルである場合に限ることを示せ。
(b) \( A = [a_{ij}] \) が正則相関行列、\( A^{-1} = [\alpha_{ij}] \) のとき、各 \(\alpha_{ii} \ge 1\) であり、等号が成立する \( i = p \) が存在するのは、かつそのときに限り、全ての \( j \neq p \) に対して \( a_{pj} = a_{jp} = 0 \) であることを説明せよ。
7.2.P20
\( A, B \in M_n \) を正定値行列とする。定理 4.5.8 によれば、非特異な行列 \( S \in M_n \) が存在して \( A = S B S^* \) となる。
(a) \( S = A^{1/2} B^{-1/2} \) と選べることを示せ。この \( S \) は必ずしもエルミート行列である必要はない。
(b) \( S = B^{-1/2} (B^{1/2} A B^{1/2})^{1/2} B^{-1/2} \) とも選べ、この場合の \( S \) は正定値であることを示せ。
(c) (7.2.6a) を用いて、\( A = S B S^* \) を満たす正定値 \( S \) が一意で存在することを示せ。
7.2.P21
\( A, B \in M_n \) を半正定値行列とする。
(a) \( A \) と \( B \) が可換なら、\( AB \) はエルミートで半正定値であることを示せ。
(b) \( AB \) がエルミートとは限らないことを示す例を挙げよ。
(c) (1.3.22) を用いて、\( AB \) と \( A^{1/2} B A^{1/2} \) が同じ固有値を持ち、後者の行列は実数かつ非負の固有値を持つ理由を説明せよ。この理由だけでは \( AB \) が対角化可能であるとは言えないことを説明せよ。ただし、(7.6.2b) を参照。
(d) \( A \) が正定値の場合、\( AB \) が \( A^{1/2} B A^{1/2} \) に相似であり、これが非負の対角行列に相似である理由を説明せよ。
7.2.P22
\( A, G, H \in M_n \) を正定値とし、\( G A G = H A H \) が成り立つとする。このとき \( G = H \) であることを示せ。
(a) \( X = A^{1/2} G \) および \( Y = A^{1/2} H \) と置くと、\( X^* X = Y^* Y \) となる。
(b) \((Y X^{-1})^{-1} = (Y X^{-1})^*\) なので、\( Y X^{-1} = A^{1/2} G H^{-1} A^{-1/2} \) はユニタリである。
(c) \( G H^{-1} \) の固有値は全て絶対値 1 である。
(d) \( G H^{-1} \) は対角化可能で、固有値は全て正である。
(e) よって \( G H^{-1} \) の固有値は全て +1 であり、\( G H^{-1} = I \) すなわち \( G = H \) である。
7.2.P23
\( A, B \in M_n \) を正定値とする。行列
G(A,B) = A^{1/2} ( A^{-1/2} B A^{-1/2} )^{1/2} A^{1/2}
は \( A \) と \( B \) の幾何平均である。
(a) なぜ \( G(A,B) \) が正定値であるか説明せよ。
(b) \( A \) と \( B \) が可換なら、\( G(A,B) = A^{1/2} B^{1/2} = B^{1/2} A^{1/2} = G(B,A) \) であることを示せ。
(c) \( X = G(A,B) \) が方程式 \( X A^{-1} X = B \) の唯一解であることを示せ。\( n = 1 \) の場合、\( X \) は何か。
(d) \( X A^{-1} X = B \) であることは \( X B^{-1} X = A \) であることと同値であり、従って \( G(A,B) = G(B,A) \) が成り立つことを示せ。
(e) \( G(A, \overline{A}) = G(A, A^T) \) は実行列であることを示せ。
(f) \( G(A, A^{-T}) = G(A, \overline{A}^{-1}) \) は複素直交かつ共役反転行列であることを示せ。
7.2.P24
\( A \in M_n \) を半正定値行列とする。\( A = X^* X \) と表すことができ、これは列ベクトルからなる Gram 行列である（7.2.7a 参照）。\( k \in \{1, \dots, n\} \) とする。
(a) なぜ \( A \) の任意の k 次主小行列が 0 であることと、X の列から選んだ任意の k 個のベクトルが線形従属であることが同値なのか説明せよ。
(b) もし k 次の主小行列が全て 0 なら、\(\mathrm{rank} A \lt k\) であり、m \ge k の任意の主小行列も 0 であることを示せ。
(c) \( A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) を考え、A がエルミートであっても半正定値でない場合、(b) の主張が正しくない場合があることを説明せよ。
7.2.P25
\( A \in M_n \) を半正定値とし、\( n = k m \) とする。
\(A\) を \(m×m\) ブロックからなる \(k×k\) ブロック行列として分割し、各ブロックを \( A_{ij} \) とする。\( C_p(A_{ij}) \) を p 次合成行列（0.8.1 参照）、\( \mathrm{tr} C_p(A_{ij}) = E_p(A_{ij}) \)（2.3.P12 参照）とする。
次の圧縮行列は全て半正定値であることを示す：
\begin{align}
& T = [tr A_{ij}]_{i,j=1}^k ∈ M_k, \notag \\
& C_p = [C_p(A_{ij})]_{i,j=1}^k ∈ M_k, \notag \\
& E_p = [E_p(A_{ij})]_{i,j=1}^k, \notag \\
& D = [det A_{ij}]_{i,j=1}^k \notag
\end{align}(a) \( A = B^* B \) とし、B を m×m ブロック \( B_j \) に分割する。
(b) \( T = [\mathrm{tr}(B_i^* B_j)]_{i,j=1}^k \) が Gram 行列であることを示し、半正定値であることを結論せよ。
(c) p 次合成行列の積性を用いて、\( C_p = [C_p(B_i^* B_j)]_{i,j=1}^k = [C_p(B_i)^* C_p(B_j)]_{i,j=1}^k \) が Gram 行列であり、半正定値であることを示せ。
(d) (b) と (c) の結果から \( E_p \) が半正定値であることを示せ。
(e) \( D = E_m \) であり、従って半正定値であることを結論せよ。
7.2.P26
\( A, B \in M_n \) を半正定値とする。次を示せ：
(a) \( 0 \le \mathrm{tr} AB \le \|A\|_2^2 \mathrm{tr} B \)。
(b) \( \sqrt{\mathrm{tr} AB} \le \sqrt{\mathrm{tr} A} \sqrt{\mathrm{tr} B} \le \frac{1}{2} (\mathrm{tr} A + \mathrm{tr} B) \)。
7.2.P27
\( A_1, \dots, A_m \in M_n \) を半正定値とする。次の不等式を示せ：
\left\| \sum_{i=1}^m A_i \right\|_2^2 \ge \sum_{i=1}^m \|A_i\|_2^2
7.2.P28
\( A \in M_n \) を半正定値とし、\( A = B^* B \) と表す（7.2.7 参照）。\( B = [b_1 \dots b_n] \)。
(a) A が相関行列であることと、各 \( b_j \) が単位ベクトルであることは同値であることを示せ。
(b) ベクトル \( x = [x_i] \in \mathbb{C}^n \) がバランスしているとは、各 i に対して \( |x_i| \le \sum_{j\ne i} |x_j| \) を満たすこととする。A が相関行列なら、零空間の任意のベクトルはバランスしていることを示せ。
(c) \( A = [a_{ij}] \) の任意の主対角成分が正であることと、各 \( b_j \ne 0 \) が同値であることを示せ。
(d) もし主対角成分が全て正なら、\( D = \mathrm{diag}(\sqrt{a_{11}}, \dots, \sqrt{a_{nn}}) \) とし、\( x \in \mathrm{nullspace} A \) に対して \(Dx\) がバランスしたベクトルであることを示せ。
7.2.P29
\( n \ge 2 \) とし、\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を相関行列とする。
(a) 任意の異なるインデックス \(i, j\) に対して \( |a_{ij}| \le 1 \) であり、\(A\) が正定値なら厳密に \( |a_{ij}| \lt 1 \) であることを説明せよ。
(b) (6.1.1) を用いて固有値集合 \( \sigma(A) \subset [0,n] \) を示せ。
例として \( A = J_n \) を考え、全ての \(n×n\) 相関行列の固有値を含むより小さい区間は存在しないことを説明せよ。
(c) \(A\) が正定値なら、固有値 λ は \( (0,n) \) に属することを示せ。
(d) \(A\) が三重対角行列である場合：
- (i) (6.1.1) を用いて \(λ ∈ [0,3]\) であることを示せ。
- (ii) (1.4.P4) を用いて \(λ ∈ [0,2]\) であること、\(λ ∈ σ(A)\) であることと \(2−λ ∈ σ(A) \)が同値であること、\(n\) が奇数のとき \(λ = 1\) が固有値であることを示せ。
- (iii) \(λ = 2\) が固有値であることと、\(A\) が特異であることが同値であることを説明し、\(A\) が正定値なら \(σ(A) ⊂ (0,2)\) であることを結論せよ。
7.2.P30
\( A, B \in M_n \) をエルミート行列とする。
(a) \( A \) が正定値である場合、\( AB \) は実対角行列に相似である。
さらに、\( AB \) と \( B \) の正、負、ゼロの固有値の数は一致する。
(b) \( A \) が半正定値かつ特異行列の場合、\( AB \) は必ずしも対角化可能ではない。
例として \( A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \),
\( B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \) を考えると、
\( AB \) は非対角化可能である。
(c) \( A \) が半正定値である場合、
\(\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(A^{1/2} B A^{1/2})\) は実数である。
これは \( A^{1/2} B A^{1/2} \) がエルミート行列となるためである。
7.2.P31
\( A = [a_{ij}] \in M_n(\mathbb{R}) \) を対称かつ正定値行列とし、非対角成分 \( i \ne j \) について \( a_{ij} \le 0 \) とする。このとき \( A^{-1} \) の成分は全て非負であることを示す。
(a) 固有値を \( 0 \lt \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n \) と順序付け、\(\mu \ge \max\{\lambda_n, \max_i a_{ii}\}\) とする。すると \( B = \mu I - A \) は非負の成分を持ち、固有値は \( \mu - \lambda_1 \ge \cdots \ge \mu - \lambda_n \ge 0 \) となる。
(b) スペクトル半径は \(\rho(B) = \mu - \lambda_1 \lt \mu\) である。
(c) \( A^{-1} = \mu^{-1} (I - \mu^{-1} B)^{-1} = \mu^{-1} \sum_{k=0}^{\infty} \mu^{-k} B^k \ge 0 \) である。
一般化（より弱い仮定でも同様の結論）は 8.3.P15 を参照。
7.2.P32
\(\langle \cdot, \cdot \rangle\) を \(\mathbb{C}^n\) 上の内積とし、標準直交正規基底 \( B = \{ e_1, \dots, e_n \} \) に対する Gram 行列を \( G \in M_n \) とする。
全ての \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して
\langle x, y \rangle = y^* G x
が成り立つ。したがって、関数
\(\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}\) が内積であることと、ある正定値行列 \( G \) が存在して全ての \( x, y \) に対して \(\langle x, y \rangle = y^* G x\) が成り立つことは同値である。
7.2.P33
\( A, B \in M_n \) の Jordan 積を \(\rceil A, B \lceil = AB + BA\) とし、交換子を \([A, B] = AB - BA\) とする。Jordan 積は反交換子とも呼ばれる。\( A, B \) がエルミートの場合：
(a) \(\rceil A, B \lceil\) はエルミートであり、実固有値と実トレースを持つ。
(b) \( A, B \) が正定値の場合、\(\mathrm{tr} \rceil A, B \lceil > 0\) であるが、例として \( A = \begin{pmatrix}20 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \) を取ると、\(\rceil A, B \lceil\) は負の固有値を持つことがある。
(c) \([A, B]\) は斜エルミートであり、固有値は純虚数で、トレースは 0 である。
7.2.P34
\( R \in M_n \) をエルミートかつ半正定値で \(\mathrm{tr} R = 1\)（密度行列）とする。関数 \(\mathrm{Cov}_R(\cdot, \cdot) : M_n \times M_n \to \mathbb{C}\) を
\mathrm{Cov}_R(X, Y) = \mathrm{tr}(R X Y^*) - (\mathrm{tr}(R X)) (\mathrm{tr}(R Y^*))
と定義する（状態 R における X と Y の共分散）。
(a) なぜ \(\| R^{1/2} \|_F^2 = 1\)（フロベニウスノルム）であり、\(\mathrm{rank} R = 1\) の場合のみ \( R^{1/2} = R \) が成り立ち、これはあるユークリッド単位ベクトル u に対して \( R = u u^* \) となるか説明せよ。rank R = 1 のとき量子系は純状態、rank R > 1 のとき混合状態である。さらに \(\mathrm{tr}(R X)\) は状態 R における X の平均（期待値）と解釈される。
(b) 次を示せ：
\mathrm{Cov}_R(X, Y) = \langle R^{1/2} X, R^{1/2} Y \rangle_F - \langle R^{1/2} X, R^{1/2} \rangle_F \langle R^{1/2}, R^{1/2} Y \rangle_F
(c) \(\mathrm{Cov}_R(\cdot, \cdot)\) は半線形であり、\(\mathrm{Cov}_R(X, X) \ge 0\) である。従って \(\mathrm{Cov}_R(\cdot, \cdot)\) は複素ベクトル空間 \( M_n \) 上の半内積である。全ての \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\) に対して \(\mathrm{Cov}_R(\lambda I, \mu I) = 0\)、\(\mathrm{Cov}_R(X - \lambda I, Y - \mu I) = \mathrm{Cov}_R(X, Y)\) である。
(d) \(\mathrm{Var}_R(X) = \mathrm{Cov}_R(X, X)\)（状態 R における X の分散）と定義する。次を示せ：
\mathrm{Var}_R(X) = \mathrm{tr}(R X X^*) - |\mathrm{tr}(R X)|^2
この分散は、状態 R における \( XX^* \) の平均から X の平均の絶対値二乗を引いたものである。
(e) コーシー・シュワルツ不等式 (5.1.8) を用いて、
\(\mathrm{Var}_R(X) \mathrm{Var}_R(Y) \ge |\mathrm{Cov}_R(X, Y)|^2\)（7.2.12）を確認せよ。
7.2.P35
\( A, B \in M_n \) をエルミート行列（量子系の観測量）とする。交換子 \([A, B] = AB - BA\) と Jordan 積 \(\rceil A, B \lceil = AB + BA\) を定義する。
(a) 次を示せ：
\mathrm{Cov}_R(A, B) = \mathrm{tr}(RAB) - (\mathrm{tr}(RA))(\mathrm{tr}(RB))
ここで \(\mathrm{tr}(RA)\) および \(\mathrm{tr}(RB)\) は共に実数である。
(b) 次を示せ：
\mathrm{Im}\,\mathrm{Cov}_R(A, B) = \frac{1}{2i} (\mathrm{tr}(RAB) - \mathrm{tr}(RBA)) = \frac{1}{2i} \mathrm{tr}(R[A, B])
これは状態 \( R \) における交換子の平均を表し、観測量 \( A, B \) の非可換性の尺度として解釈される。
(c) \( A_0 = A - (\mathrm{tr}(RA))I \)、\( B_0 = B - (\mathrm{tr}(RB))I \) とおくと、\(\mathrm{tr}(RA_0) = \mathrm{tr}(RB_0) = 0\)（状態 \( R \) で平均ゼロ）である。さらに
\mathrm{tr}(R \rceil A_0, B_0 \lceil) = \mathrm{tr}(R \rceil A, B \lceil) - 2 (\mathrm{tr}(RA))(\mathrm{tr}(RB))
(d) よって
\mathrm{Re}\,\mathrm{Cov}_R(A, B) = \frac{1}{2} \mathrm{tr}(R \rceil A_0, B_0 \lceil) = \frac{1}{2} (\mathrm{Cov}_R(A, B) + \mathrm{Cov}_R(B, A))
(e) 次の不等式
\mathrm{Var}_R(A)\,\mathrm{Var}_R(B) \ge \frac{1}{4} |\mathrm{tr}(R[A,B])|^2 + \frac{1}{4} (\mathrm{Cov}_R(A, B) + \mathrm{Cov}_R(B, A))^2
は半内積 \(\mathrm{Cov}_R(\cdot, \cdot)\) に対するコーシー・シュワルツ不等式の拡張であり、シュレーディンガー不確定性原理を表す。これにより、より弱い形のハイゼンベルク不確定性原理
\mathrm{Var}_R(A)\,\mathrm{Var}_R(B) \ge \frac{1}{4} |\mathrm{tr}(R[A,B])|^2
が導かれる。
さらに、もし \( AR = \lambda R \) となる実数 \(\lambda\) が存在する場合（R が A の固有状態）、\(\mathrm{Var}_R(A) = 0\) となる。
また、任意の密度行列はスカラー行列の固有状態である理由を説明せよ。
7.2.P36
関数 \(\mathrm{Corr}_R(\cdot, \cdot) : M_n \times M_n \to \mathbb{C}\) をウィグナー・ヤナゼ相関として
\mathrm{Corr}_R(X, Y) = \mathrm{tr}(RXY^*) - \mathrm{tr}(R^{1/2} X R^{1/2} Y^*)
と定義する。また、ウィグナー・ヤナゼの歪情報を
I_R(X) = \mathrm{Corr}_R(X, X) = \mathrm{tr}(RXX^*) - \mathrm{tr}((R^{1/2} X)^2)
(a) \( I_R(X) \) は実数である。
(b) 次が成り立つ：
\mathrm{Corr}_R(X, Y) = \langle R^{1/2} X, R^{1/2} Y \rangle_F - \langle R^{1/2} X, R^{1/2} \rangle_F \langle R^{1/2}, R^{1/2} Y \rangle_F
(c) \(\mathrm{Corr}_R(\cdot, \cdot)\) は半線形形式であり、複素ベクトル空間 \( M_n \) 上の半内積ではない。全ての \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\) に対して \(\mathrm{Corr}_R(\lambda I, \mu I) = 0\)、\(\mathrm{Corr}_R(X - \lambda I, Y - \mu I) = \mathrm{Corr}_R(X, Y)\) が成り立つ。
(d) \( X \in M_n \) が正規行列なら \( I_R(X) \ge 0 \) である。rank R = 1 の場合、\(\mathrm{Corr}_R(X, Y) = \mathrm{Cov}_R(X, Y)\) となる（7.2.P34(a) を参照）。
(e) \( A, B \in M_n \) がエルミートの場合、\( I_R(A) \) は実数かつ非負であり、密度行列 R に対する観測量 A の情報量の尺度と解釈される。
(f) \( H_n = \{A \in M_n : A = A^*\} \) は実ベクトル空間である。
(g) \(\mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(\cdot, \cdot)\) は \( H_n \) 上の双線形形式であり、\(\mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(A, A) \ge 0\) であるため、\( H_n \) 上の半内積となる。
(h) \( H_n = \{ A \in M_n : A = A^* \} \) が実ベクトル空間である理由を説明せよ。
(i) \( \mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(\cdot, \cdot) \) が実ベクトル空間 \( H_n \) 上の双線形形式（bilinear function）であり、さらに \( \mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(A, A) \ge 0 \) が成り立つことを説明せよ。したがって、\( \mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(\cdot, \cdot) \) は \( H_n \) 上の半内積（semi-inner product）である。
(j) 次の等式を示せ：
I_R(A) = \mathrm{tr}(R A^2) - \mathrm{tr}((R^{1/2} A)^2)
= -\frac{1}{2} \mathrm{tr}([R^{1/2}, A]^2)
\quad \text{(7.2.15)}
\mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(A, B)
= \frac{1}{2}\bigl(\mathrm{Corr}_R(A, B) + \mathrm{Corr}_R(B, A)\bigr)
= \frac{1}{4}\bigl(I_R(A + B) - I_R(A - B)\bigr)
\quad \text{(7.2.16)}
\mathrm{Im}\,\mathrm{Corr}_R(A, B)
= \frac{1}{2i}\bigl(\mathrm{Corr}_R(A, B) - \mathrm{Corr}_R(B, A)\bigr)
= \frac{1}{2i}\,\mathrm{tr}(R[A, B])
= \mathrm{Im}\,\mathrm{Cov}_R(A, B)
\quad \text{(7.2.17)}
(k) コーシー・シュワルツ不等式を用いて、次の不等式を示す：
I_R(A) I_R(B) \ge \frac{1}{4} (\mathrm{Corr}_R(A, B) + \mathrm{Corr}_R(B, A))^2
= \frac{1}{16} (I_R(A+B) - I_R(A-B))^2
(l) 関数 \(f : M_m \times M_n \to \mathbb{C}\) を次のように定義する：
f(X, Y) = \mathrm{tr}(R^{1/2} X R^{1/2} Y^*)
このとき、\(f\) が半線形形式（sesquilinear form）であり、さらに \(f(X, X) \ge 0\) が成り立つことを示せ。
(m) 次の関係が成り立つ理由を説明せよ：
|f(X, I)|^2 \le f(X, X) f(I, I) = f(X, X)
したがって、全ての \(X \in M_n\) に対して次が従う：
|\mathrm{tr}(R X)|^2 \le \mathrm{tr}(R^{1/2} X R^{1/2} X^*)
(n) 次の不等式が成り立つ理由を説明せよ：
(\mathrm{tr}(RA))^2 \le \mathrm{tr}((R^{1/2} A)^2)
これにより、任意の観測量 \(A\) に対して歪情報は分散を超えないことが従う：
I_R(A) \le \mathrm{Var}_R(A)
行列解析の総本山
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