[行列解析7.2.8]系：エルミート行列の正定値性と合同

7.2.8系：エルミート行列の正定値性と合同

エルミート行列 \( A \) が正定値であることと、\( A \) が単位行列に ∗合同（スター合同）であることは同値である。

これは定理 (7.2.7) の単なる言い換えである。

\( A \in M_n \) が正定値であり、かつ \( A = C^{*}C \) （\( C \in M_n \)）とする。次を示せ：

あるユニタリ行列 \( V \in M_n \) が存在して、\( C = V A^{1/2} \) が成り立つ。

（ヒント）次を示せ：

A^{-1/2} C^{*} C A^{-1/2} = (C A^{-1/2})^{*} (C A^{-1/2}) = I

半正定値行列 \( A \) の分解 \( A = B^{*}B \) は、いくつかの異なる方法で得られる。

たとえば、任意の正方行列 \( C \) は QR分解（式 (2.1.14)）をもつ：

C = Q R

ここで \( Q \) はユニタリ行列、\( R \) は上三角行列で、その対角成分は非負であり、\( R \) の階数は \( C \) と同じである。

このとき、

C^{*} C = (Q R)^{*} Q R = R^{*} Q^{*} Q R = R^{*} R

が成り立つ。したがって、\( A = R^{*} R \) の形でも半正定値行列の分解が得られる。