[行列解析7.2.6]定理：半正定値エルミート行列の k 乗根

7.2.6定理：半正定値エルミート行列の k 乗根

\( A \in M_n \) がエルミートかつ半正定値であるとし、\( r = \operatorname{rank} A \)、および \( k \in \{2, 3, \ldots\} \) とする。

(a) \( B^k = A \) を満たすエルミート半正定値行列 \( B \) が一意に存在する。

(b) 実係数多項式 \( p \) が存在して \( B = p(A) \) が成り立つ。したがって、\( A \) と可換な任意の行列は \( B \) とも可換である。

(d) \( A \) が実対称半正定値行列である場合、\( B \) も実対称である。

\( A = U \Phi U^{*} \) と表す。ただし \( U = [U_1\ U_2] \) はユニタリ行列であり、\( U_1 \in M_{n,r} \)、さらに

\Phi = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_r) \oplus 0_{n-r},

ここで \(\lambda_1, \ldots, \lambda_r\) はすべて正の値である。

次に、

B = U \Phi^{1/k} U^{*},

と定義する。ただし、

\Phi^{1/k} = \operatorname{diag}(\lambda_1^{1/k}, \ldots, \lambda_r^{1/k}) \oplus 0_{n-r}

であり、各要素の \(k\) 乗根は非負のものを取る。このとき \( B \) はエルミートかつ半正定値であり、明らかに \( B^k = A \) が成り立つ。

また、\(\operatorname{range} A = \operatorname{range} B\) は \( U_1 \) の列空間であるため、\(\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B = r\) である。

もし \( A \) が実対称半正定値行列であれば、\( U \) を実直交行列として選ぶことができる。その場合、上の構成により \( B \) も実対称行列となる。

次に、一意性と可換性について述べる。

まず、多項式 \( p \) を

p(\lambda_i) = \lambda_i^{1/k} \quad (i = 1, \ldots, r), \quad \text{および} \quad p(0) = 0 \ (r \lt n)

と定める。このとき、(0.9.11) より \( p \) の係数は実数である。したがって、

p(\Phi) = \Phi^{1/k}, \quad p(A) = p(U \Phi U^{*}) = U p(\Phi) U^{*} = U \Phi^{1/k} U^{*} = B

が成り立ち、(b) が確認できる。

次に、\( C \) を \( C^k = A \) を満たす半正定値エルミート行列とする。このとき、

B = p(A) = p(C^k)

となるので、\( B \) は \( C \) と可換である。定理 4.1.6 により、\( B \) と \( C \) を同時対角化するユニタリ行列 \( V \) が存在する。すなわち、

B = V \Phi_1 V^{*}, \quad C = V \Phi_2 V^{*},

ここで \(\Phi_1, \Phi_2\) は非負の対角行列である。\( B^k = A = C^k \) より、

\Phi_1^k = \Phi_2^k

が成り立つ。非負の実数の非負 \(k\) 乗根は一意であるため、

\Phi_1 = \Phi_2

が従い、したがって \( B = C \) である。

正（半）定値行列 \( A \) の一意な正（半）定値平方根を \( A^{1/2} \) と表し、一般に \( A^{1/k} \) は \( A \) の一意な正（半）定値 \(k\) 乗根を表す。この一意性に関する結果の応用例については (7.2.P20) を参照せよ。

(1) 上の定理の証明で用いた構成を使って、

\begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}^{1/2}

を求めよ。

(2) \( A \) が正定値であるとき、次を示せ：

(A^{1/2})^{-1} = (A^{-1})^{1/2}.