7.2.3半正定値行列の性質とゲルシュゴリンの定理による判定
もしすべての \( i = 1, 2, \ldots, n \) に対して \( a_{ii} \gt 0 \) であるならば、行列 \( A \) は正定値である。
証明
これは (6.1.10(c)) の結果である。この条件のもとでは、行列 \( A \) の各ゲルシュゴリン円板は複素平面の右半平面内に含まれる。
また、エルミート行列の固有値はすべて実数であるため、行列 \( A \) の固有値はすべて正の値をとる。したがって \( A \) は正定値である。
次に述べる特徴づけは、数値的に正定値性を確認するうえではあまり実用的ではないが、理論的には有用である。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
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2025.08.05
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