[行列解析7.1.P21]

7.1.問題21
- 問題 7.1.P21
行列解析の総本山

7.1.問題21

問題 7.1.P21

\( A \in M_n \) が半正定値 Hermitian 部分をもつとする。(a) 任意の正則行列 \( S \in M_n \) に対して \( SAS^* \) も同様の性質をもつことを説明せよ(b) \( A \) の ∗合同標準形におけるすべてのブロックも半正定値 Hermitian 部分をもつことを説明せよ。

-i \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & i\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & -i\\ -i & 1\end{bmatrix}

のみが該当することを示せ。

A = S \, \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \dots, e^{i\theta_n}) \, S^*, \quad \theta_j \in (-\pi/2, \pi/2)

が成り立つ場合であることを説明せよ。

(I_p + i \Delta_p) \oplus (0_q + i \Gamma_q) \oplus (E_{2r} + i F_{2r})

ここで、\( I_p \) は単位行列、\( \Delta_p \) は実対角行列、\( 0_q \) は零行列、\(\Gamma_q = 0_{q1} \oplus I_{q2} \oplus (-I_{q3})\) は慣性行列、\( E_{2r} = \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix} \oplus \cdots \) 、\( F_{2r} = \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix} \oplus \cdots \) である。このブロック対角行列は、\(\Gamma_q\) の対角要素の順序を除いて一意である。