[行列解析7.1.P16]

7.1.問題16

\( \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C} \) が与えられ、すべての \( j = 1, \dots, n \) に対して \(\mathrm{Re}\,\lambda_j \gt 0\) であるとする。このとき、

A = \bigl[(\lambda_i + \overline{\lambda_j})^{-1}\bigr]_{i,j=1}^n

が半正定値行列であること、さらに \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) がすべて異なるとき、\( A \) は正定値であることを示せ。
この結果から、次のハンケル行列

A = [(i + j)^{-1}]_{i,j=1}^n, \quad B = [(i + j - 1)^{-1}]_{i,j=1}^n

がともに正定値であることを結論せよ。