7.1.問題12
問題 7.1.P12
\( g \) が非負かつ可積分な関数であるとする。このとき、
f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{its} g(s) \, ds
が正定値関数であることを示せ。次の関数が正定値である理由を説明せよ。
- (a) \( f(t) = \dfrac{\sin(\alpha t)}{\alpha t} = \dfrac{1}{2\alpha} \int_{-\alpha}^{\alpha} e^{its} ds, \ \alpha \gt 0 \)
- (b) \( f(t) = e^{-t^2} = \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{its} e^{-s^2/2} ds \)
- (c) \( f(t) = e^{-|t|} = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{e^{its}}{1 + s^2} ds \)
- (d) \( f(t) = \dfrac{1 + i t}{1 + t^2} = \dfrac{1}{1 - i t} = \int_0^{\infty} e^{its} e^{-s} ds \)
(b) および (c) の関数が正定値であることを示す別の方法は、(7.2.P12) および (7.2.P14) に示されている。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
コメント