7.1.10.半正定値行列の行と列の包含性
観察 7.1.10. すべての半正定値行列は、行および列の包含性をもつ。特に、もし \( A = [a_{ij}] \) が半正定値であり、ある \( k \in \{1, \ldots, n\} \) に対して \( a_{kk} = 0 \) であるならば、すべての \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( a_{ik} = a_{ki} = 0 \) である。
証明. \( A \in M_n \) を半正定値行列とし、次のように分割する。
A =
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{12}^* & A_{22}
\end{bmatrix},
ここで、\( A_{11} \in M_k \) はエルミート行列であり、\( k \in \{1, \ldots, n - 1\} \) とする。示すべきことは、次の包含関係である。
\operatorname{nullspace}(A_{11}) \subset \operatorname{nullspace}(A_{12}^*).
もし \( A_{11} \) が正則であれば、示すべきことはない。したがって、非零ベクトル \( \xi \in \mathbb{C}^k \) が存在して \( \xi^* A_{11} = 0 \) であると仮定する。このとき、\( \xi^* A_{12} = 0 \) を示せばよい。
次を定める：
x =
\begin{bmatrix}
\xi \\
0
\end{bmatrix}
\in \mathbb{C}^n.
このとき、 \( x^* A x = \xi^* A_{11} \xi = 0 \) である。式 (7.1.6) により \( x^* A = 0 \) が成り立つ。したがって、
0 = x^* A = \xi^* [ A_{11} \; A_{12} ] = [ \xi^* A_{11} \; \xi^* A_{12} ] = [ 0 \; \xi^* A_{12} ],
よって \( \xi^* A_{12} = 0 \) である。
第二の主張については、行の包含性により、各要素 \( a_{ik} \) が \( a_{kk} \) のスカラー倍であることがわかる。
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演習 1. \( A \in M_n \) を次のように分割した半正定値行列とする：
A =
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{12}^* & A_{22}
\end{bmatrix}.
もし \( A_{11} = 0 \) または \( A_{22} = 0 \) であるならば、なぜ \( A_{12} = 0 \) であるかを説明せよ。
演習 2. \( A \in M_n \) を半正定値行列とする。\( A = [a_1, \ldots, a_n] \) と列により分割し、\( \alpha \subset \{1, \ldots, n\} \) を任意の非空な添字集合、\( j \in \{1, \ldots, n\} \) を任意の列添字とする。このとき、なぜ \( a_j[\alpha] \) が \( A[\alpha] \) の列空間に属するのかを説明せよ。
（ヒント：順列による相似変換は半正定値性を保つ；式 (7.1.8) を参照。）
なお、行と列の包含性を持つ行列のクラスには、これよりも広い行列の集合が存在する。このクラスの行列は、必ずしも半正定値でもエルミートでもないが、そのエルミート部分はすべて半正定値である（式 (4.1.2) を参照）。
演習 3. \( A \in M_n \) を \( A = H + iK \) と書く。ただし \( H \) および \( K \) はエルミート行列とする。任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して、次の3つの命題が同値であることを説明せよ。
(a)\; x^* A x = 0, \quad (b)\; x^* A^* x = 0, \quad (c)\; x^* H x = x^* K x = 0.
行列解析の総本山
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