[行列解析6.4.29]系：行列の非特異性を保証する条件とBrauerの定理の強化版

6.4.29
行列解析の総本山

6.4.29

\( A \in M_n \) で \( n \ge 2 \) のとき、次のいずれかの条件を満たすとき、行列 \( A \) は非特異（nonsingular）である。

(a) \( A \) が弱い意味で既約（weakly irreducible）であり、任意の非自明な閉路 \( \gamma \in C(A) \) に対して次が成り立つ場合。

\prod_{P_i \in \gamma} |a_{ii}| \gt \prod_{P_i \in \gamma} R_i

(b) \( A \) が既約（irreducible）であり、任意の非自明な閉路 \( \gamma \in C(A) \) に対して次が成り立ち、少なくとも1つの閉路では不等号が厳密になる場合。

\prod_{P_i \in \gamma} |a_{ii}| \ge \prod_{P_i \in \gamma} R_i

最後の結果として、Brauerの定理の強化版を述べる。これは、式 (6.4.7) に示される場合よりも少ないカッシーニの楕円領域（oval of Cassini）の和集合内に、行列 \( A \) の固有値が存在することを示すものである。特に、行列 \( A \) がスパース（疎行列）であり、対称的に配置された多くのゼロ要素をもつ場合には、考慮すべき楕円の数を劇的に減らすことができる。