6.4.7.ブラウアーの定理（Brauer’s Theorem）
定理6.4.7（ブラウアー）：
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) とし、\(n \ge 2\) と仮定する。 行列 \(A\) の固有値は、次のような \(n(n - 1)/2\) 個の「カッシーニの卵形（Cassini oval）」の和集合内に含まれる。
\bigcup_{i \ne j} \{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}|\,|z - a_{jj}| \le R_i R_j \}
この集合は、ゲルシュゴリンの集合 (6.1.2) に含まれる。
証明
\(\lambda\) を \(A\) の固有値とし、\(Ax = \lambda x\) を満たす非零ベクトル \(x = [x_i]\) を考える。 \(x\) の中で絶対値が最大の成分を \(x_p\) とする。すなわち、\(|x_p| \ge |x_i|\) がすべての \(i = 1, \ldots, n\) に対して成り立つものとする。 もし他の成分がすべてゼロであるならば、\(Ax = \lambda x\) より \(\lambda = a_{pp}\) となり、これは上記の集合 (6.4.8) に含まれる。
次に、\(x\) に少なくとも2つの非零成分がある場合を考える。 そのうち絶対値が2番目に大きい成分を \(x_q\) とする。すなわち、\(x_p \ne 0 \ne x_q\) かつ \(|x_p| \ge |x_q| \ge |x_i|\) がすべての \(i \ne p\) に対して成り立つ。
恒等式 \(Ax = \lambda x\) から、次の関係式を得る。
x_p (\lambda - a_{pp}) = \sum_{j \ne p} a_{pj} x_j
したがって次が成り立つ。
|x_p|\,|\lambda - a_{pp}| \le \sum_{j \ne p} |a_{pj}|\,|x_j| \le R_p |x_q|
よって、
|\lambda - a_{pp}| \le R_p \frac{|x_q|}{|x_p|}
\tag{6.4.9}
同様に、\(x_q (\lambda - a_{qq}) = \sum_{j \ne q} a_{qj} x_j\) より、
|\lambda - a_{qq}| \le R_q \frac{|x_p|}{|x_q|}
\tag{6.4.10}
(6.4.9) と (6.4.10) を掛け合わせると、未知の比 \(|x_q| / |x_p|\) を消去でき、次の不等式を得る。
|\lambda - a_{pp}|\,|\lambda - a_{qq}| \le R_p R_q
したがって、固有値 \(\lambda\) は集合 (6.4.8) に属する。
ここで、行 \(i, j \in \{1, \ldots, n\}, i \ne j\) に対応するカッシーニの卵形を
C_{ij} = \{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}|\,|z - a_{jj}| \le R_i R_j \}
と定義する。これに対して、\(C_{ij} \subset G_i \cup G_j\) が成り立つことを主張する。 ただし、\(G_i = \{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}| \le R_i(A) \}\) は行 \(i\) に対応するゲルシュゴリン円板である。
もし \(R_i R_j = 0\) ならば、この主張は自明に正しい。したがって、\(R_i R_j > 0\) の場合を考える。このとき、
C_{ij} = \left\{ z \in \mathbb{C} :
\frac{|z - a_{ii}|}{R_i} \frac{|z - a_{jj}|}{R_j} \le 1 \right\}
もし点 \(z\) が上記の不等式を満たすなら、積の中の両方の比が同時に1より大きくなることはない。 したがって、\(z\) は \(G_i\) または \(G_j\) のいずれかに属する。これにより主張が確認される。 したがって次が成り立つ。
\bigcup_{i \ne j} C_{ij} \subset \bigcup_i G_i
∎
演習：
ブラウアーの定理の「列和バージョン」はどのような形になるか。
一般に、固有値包含集合に関する定理は、非特異性に関する対応する定理を意味し、逆もまた成り立つ。 したがって、オストロフスキーおよびブラウアーの定理を用いて、\(z = 0\) がそれぞれの固有値包含集合に含まれないための条件を導くことができる。
行列解析の総本山
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