[行列解析6.3.P3]

6.3.問題3

正規行列 \(A \in M_n\) を次のように分割する：

A = \begin{bmatrix} B & X \\ Y & C \end{bmatrix}

ここで \(B \in M_k\)、\(C \in M_{n-k}\) である。\(B\) の固有値を \(\beta\)、\(C\) の固有値を \(\gamma\) とする。

(a) 式 (6.3.14b) を用いて、次を示せ。\(A\) の固有値の1つが次の円板内に存在する：

\{ z \in \mathbb{C} : |z - \beta| \le \|Y\|_2 \}

さらに、次の円板内にも固有値が存在する：

\{ z \in \mathbb{C} : |z - \gamma| \le \|X\|_2 \}

(b) \(k = 1\) の場合、\(A = \begin{bmatrix} b & x^* \\ y & C \end{bmatrix}\)、ただし \(b \in \mathbb{C}\)、\(x, y \in \mathbb{C}^{n-1}\) とする。

このとき、次の円板内に固有値が存在する理由を説明せよ。

\{ z \in \mathbb{C} : |z - b| \le \|x\|_2 \}, \quad \{ z \in \mathbb{C} : |z - \gamma| \le \|x\|_2 \}