6.3.1
\(A \in M_n\) が対角化可能であり、非特異行列 \(S\) を用いて \(A = S \Lambda S^{-1}\) と表されるとする。ここで \(\Lambda\) は対角行列である。また、\(E \in M_n\) とする。もし \(\hat{\lambda}\) が \(A + E\) の固有値であるならば、\(A\) の固有値 \(\lambda\) が存在して次が成り立つ。
|\hat{\lambda} - \lambda| \le \|S\|_{\infty} \, \|E\|_{\infty} \, \|S^{-1}\|_{\infty}
= \kappa_{\infty}(S) \, \|E\|_{\infty}
ここで、\(\kappa_{\infty}(\cdot)\) は行列ノルム \(\| \cdot \|_{\infty}\) に関する条件数である。
証明
\(A + E\) と \(S^{-1}(A + E)S = \Lambda + S^{-1}ES\) は同じ固有値を持つ。また、\(\Lambda\) は対角行列であるため、前節の議論より \(A\) の固有値 \(\lambda\) が存在して次が成り立つ。
|\hat{\lambda} - \lambda| \le \|S^{-1} E S\|_{\infty}
この不等式に行列ノルム \(\| \cdot \|_{\infty}\) の劣乗法則（submultiplicativity）を適用すると、上の主張が導かれる。
最大行和ノルム（\(\| \cdot \|_{\infty}\)）は、\(\mathbb{C}^n\) 上の和ノルムにより誘導されるものであり、これは絶対ノルムである。この性質を用いて、式 (5.6.36) により上記の観察を一般化することができる。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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