[行列解析6.3]固有値摂動定理

6.3.目次
6.3.固有値摂動定理 (Eigenvalue perturbation theorems)
行列解析の総本山

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6.3.1

6.3.固有値摂動定理 (Eigenvalue perturbation theorems)

\(D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in M_n\)、\(E = [e_{ij}] \in M_n\) とし、摂動行列 \(D + E\) を考える。定理 6.1.1 により、\(D + E\) の固有値は次の集合に含まれることが保証される：

\bigcup_{i=1}^{n} \left\{ z \in \mathbb{C} : |z - \lambda_i - e_{ii}| \le R_i(E) = \sum_{j \ne i} |e_{ij}| \right\}

この集合はさらに次の集合に含まれる：

\bigcup_{i=1}^{n} \left\{ z \in \mathbb{C} : |z - \lambda_i| \le R_i(E) = \sum_{j=1}^{n} |e_{ij}| \right\}

したがって、\(\hat{\lambda}\) が \(D + E\) の固有値である場合、\(D\) の固有値 \(\lambda_i\) が存在して \(|\hat{\lambda} - \lambda_i| \le \|E\|_\infty\) が成り立つ。この界を用いることで、対角化可能な行列の固有値に対する摂動界を得ることができる。