[行列解析6.2]問題集

6.2.問題集

6.2.P1

行列 \(A \in M_n\) が不可約であり、かつ \(n \ge 2\) であるとする。\(A\) にゼロ行またはゼロ列が存在しないことを示せ。

6.2.P2

例を用いて、(6.2.28) における不可約性の仮定が必要であることを示せ。

6.2.P3

\(A = [a_{ij}] \in M_n\)、\(\lambda, x = [x_i]\) が \(|A|\) の固有値・固有ベクトルの組であり、すべての \(x_i > 0\) であるとする。

\(D = \mathrm{diag}(x_1, \dots, x_n)\) とする。

なぜ \(D^{-1}|A|D\) のすべてのゲルシュゴリン円が \(\lambda\) を通り、\(\lambda = \rho(|A|)\) となるのかを説明せ。

図を描け。また、\(D^{-1}AD\) の絶対値行和について何が言えるか。

6.2.P4

第8章で証明するが、正の成分を持つ正方行列は必ず正の固有値と正の成分を持つ対応する固有ベクトルを持つ。

この事実と前問を用いて、任意の \(A \in M_n\) に対して \(\rho(A) \le \rho(|A|)\) が成り立つことを示せ。

6.2.P5

(6.2.28) を用いて、多項式 \(p(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\), \(a_0 \ne 0\) の根 \(\tilde{z}\) に対するコーシーの界 (5.6.47) が、\(|\tilde{z}| \lt \max\{|a_0|, |a_1| + 1, |a_2| + 1, \dots, |a_{n-1}| + 1\}\) に改善されることを示せ。

ただし、実数 \(|a_0|, |a_1|+1, |a_2|+1, \dots, |a_{n-1}|+1\) がすべて等しくない場合に限る。モンテルの界 (5.6.48)、カーマイケル・メイソンの界 (5.6.49)、小島の界 (5.6.53) に対してはどのような改善が可能か。