[行列解析6.2.10]定義：性質SCと行列のインジケータ行列

6.2.10

定義6.2.10．任意の行列 \(A = [a_{ij}] \in M_{m,n}\) に対して、次の2つの行列を定義する。

\lvert A \rvert = [\lvert a_{ij} \rvert], \quad M(A) = [\mu_{ij}]

ここで、要素 \(\mu_{ij}\) は次のように定める。

\mu_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{if } a_{ij} \ne 0, \\ 0, & \text{if } a_{ij} = 0. \end{cases}

このとき、行列 \(M(A)\) を \(A\) のインジケータ行列（indicator matrix）と呼ぶ。

練習問題．行列 \(A \in M_n\) が性質SC（Strong Connectivity）をもつのは、行列 \(\lvert A \rvert\) または \(M(A)\) のいずれか（したがって両方）が性質SCをもつ場合に限ることを示せ。

性質SCの定義に現れる \(A\) の非ゼロ成分の並びは、行列 \(A\) に関連するグラフ上の特定の経路によって視覚的に表現することができる。