[行列解析6.2.9]改良された系：性質SCと非特異性の条件

6.2.9

系6.2.9（改良された系）．\(A = [a_{ij}] \in M_n\) が性質SC（Strong Connectivity）をもつと仮定する。もし \(A\) が対角優位であり、さらにある \(k \in \{1, \dots, n\}\) について

\lvert a_{kk} \rvert \gt R_k \quad \text{ただし} \quad R_k = \sum_{j \ne k} \lvert a_{kj} \rvert

が成り立つならば、行列 \(A\) は非特異（nonsingular）である。

練習問題：定理 (6.2.8) からこの系 (6.2.9) を導け。

ここで「性質SC」とは何であろうか。この性質は、行列 \(A\) の非対角要素のうちゼロでない成分の位置関係のみに関係しており、主対角成分の値や非ゼロ要素の具体的な数値には依存しない点に注意すべきである。

この観察に基づいて、行列 \(A\) に関連する2つの行列を次に定義する動機が得られる。