[行列解析6.2.6]系：対角優位性から得られる非特異性の判定

6.2.6

系6.2.6. 行列 \(A=[a_{ij}]\in M_n\) を考え、かつ \(A\) のすべての成分がゼロでないと仮定する。もし \(A\) が対角優位であり、かつある \(k\in\{1,\dots,n\}\) が存在して

\lvert a_{kk} \rvert \gt R_k, \quad\text{ただし}\quad R_k=\sum_{j\ne k}\lvert a_{kj}\rvert

が成り立つならば、行列 \(A\) は非特異（nonsingular）である。

証明. \(A\) が対角優位であるので、\(\lambda=0\) は不等式 (6.2.2a) を満たす。仮定により第 \(k\) のゲルシュゴリン円は原点を通らない。したがって，前の定理から 0 は \(A\) の固有値ではない。よって \(A\) は非特異である。■

前述の系は有用かつ興味深いが、不等式 (6.2.3) に含まれる情報をより注意深く利用すれば、さらに強い結論を導くことが可能である。