[行列解析6.1.P19]

6.1.問題19
- 6.1.P19
行列解析の総本山

6.1.問題19

6.1.P19

行列 \(A = [a_{ij}] \in M_n\) の固有値 \(\lambda\) の幾何学的重複度が \(k \ge 1\) であるとする。このとき、k 個の異なるインデックス \(i_1, \dots, i_k \in \{1, \dots, n\}\) が存在し、各 \(j = 1, \dots, k\) について \(\lambda \in \{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{i_j i_j}| \le R_{i_j} \}\) が成り立つことを示す。詳細は以下の通りである：（a）\(X \in M_{n,k}\) の列は \(\lambda\)-固有空間の基底とし、\(Y = [y_1 \dots y_k] = XR\) が前問で述べた性質を満たすようにする。（b）\(AY = \lambda Y\) である。（c）(6.1.1) の証明を再訪し、各固有値対 \(\lambda, y_i\) を用いる。（d）もし \(k = n\) の場合はどうなるか。（e）なぜ \(\lambda \in \cap_{j=1}^k \{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{i_j i_j}| \le R_{i_j} \}\) となるか。