[行列解析6.1.9]対角優位行列とLevy–Desplanquesの定理

6.1.9

次に、対角優位（diagonally dominant）行列の定義を与える。この性質は、ゲルシュゴリンの円板定理を用いた固有値の評価と深く関係している。

定義 6.1.9　\( A = [a_{ij}] \in M_n \) とする。行列 \( A \) が 対角優位（diagonally dominant） であるとは、すべての \( i = 1, \ldots, n \) に対して次を満たすときにいう。

|a_{ii}| \ge \sum_{j \ne i} |a_{ij}| = R_i

さらに、すべての \( i = 1, \ldots, n \) に対して次が成り立つとき、行列 \( A \) は 厳密な対角優位（strictly diagonally dominant） であるという。

|a_{ii}| \gt \sum_{j \ne i} |a_{ij}| = R_i

幾何的に見ると、行列 \( A \) が厳密に対角優位である場合、ゼロはどの閉じたゲルシュゴリン円板にも含まれないことがわかる。

さらに、すべての主対角成分 \( a_{ii} \) が実数で正の値をもつなら、これらの各円板は複素平面の右半平面に位置する。もし \( A \) がエルミート行列でもあるなら、その固有値はすべて実数であるため、それらはすべて実数かつ正でなければならない。

これらの観察結果を次の定理としてまとめる。なお、そのうちの部分 (a) は Levy–Desplanquesの定理 として知られている（式 (5.6.17) を参照）。