[行列解析6.1]ゲルシュゴリン円盤

6.1.1　ゲルシュゴリン円盤定理：固有値の位置に関する基準
6.1.3　ゲルシュゴリンの定理の系：行列の固有値の存在領域
6.1.5　ゲルシュゴリンの定理によるスペクトル半径の上界
6.1.6　系：重み付き円盤による固有値の精密な位置推定
6.1.8　スペクトル半径と対角スケーリングに関する補題と練習問題
6.1.9　対角優位行列とLevy–Desplanquesの定理
6.1.10　厳密対角優位行列とその性質（Levy–Desplanquesの定理の拡張）
6.1.11　ゲルシュゴリン定理の拡張と非特異行列の条件（Vargaの結果
6.1　問題集
6.1　注記と参考文献

6.1　ゲルシュゴリン円盤定理

任意の行列 \(A \in M_n\) に対して、常に \(A = D + B\) と書くことができる。ここで、\(D = \mathrm{diag}(a_{11}, \ldots, a_{nn})\) は \(A\) の主対角成分を含む対角行列であり、\(B = A - D\) は主対角成分がすべて 0 の行列である。

ここで、行列 \(A_\epsilon = D + \epsilon B\) を定義すると、\(\epsilon = 0\) のとき \(A_0 = D\)、\(\epsilon = 1\) のとき \(A_1 = A\) となる。行列 \(A_0 = D\) の固有値は簡単に求められ、それらは複素平面上の点 \(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}\) であり、それぞれの重複度を持つ。

\(\epsilon\) が十分に小さい場合、行列 \(A_\epsilon\) の固有値は各点 \(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}\) の近傍に位置することが知られている。次に示すゲルシュゴリンの円盤定理は、この観察をより正確に定式化したものである。すなわち、各点 \(a_{ii}\) を中心とする、容易に計算できる円盤を考えると、これらの円盤の中に行列 \(A\) のすべての固有値が必ず含まれることを保証する。