[行列解析6.0]固有値の分布と摂動に対する安定性

6.0.固有値の分布と摂動に対する安定性

対角行列の固有値は非常に簡単に求められる。また、行列の固有値はその要素の連続関数であるため、行列が「ほぼ対角行列」である場合、すなわち非対角成分が主対角成分に比べて小さい場合に、固有値について有用な情報が得られるかどうかを考えるのは自然である。このような行列は実際の応用において頻繁に現れる。たとえば、楕円型偏微分方程式の境界値問題を数値的に離散化することで得られる大規模な連立一次方程式の係数行列は、一般にこのような形をしている。

振動系の長期安定性を扱う微分方程式の問題では、与えられた行列のすべての固有値が複素平面の左半平面にあることを確認することが重要な場合がある。また、統計学や数値解析の分野では、与えられたエルミート行列のすべての固有値が正であることを示したい場合もある。本章では、ある行列の固有値が特定の領域（たとえば、指定された半平面・円盤・半直線など）に含まれることを保証するための、簡潔で十分な条件について述べる。

任意の行列 \(A\) のすべての固有値は、原点を中心とし、半径が \(\|A\|\) である複素平面上の円盤内に存在する。ここで \(\| \cdot \|\) は任意の行列ノルムである。では、固有値を含む（あるいは除外する）ことができ、かつより小さく、容易に決定できるような集合は存在するだろうか。本章では、そのような複数の集合を特定していく。

行列 \(A\) に摂動が加わり \(A \rightarrow A + E\) となる場合、固有値の連続性により、摂動行列 \(E\) がある意味で小さいならば、固有値は大きく変化しないことが保証される。本章では、このような摂動が行列の固有値に与える影響を調べ、行列に摂動が加えられた後に固有値がどの程度移動しうるかを制限する明示的な上界を提示する。