[行列解析5.8.P9]

5.8.問題9
- 5.8.P9
行列解析の総本山

5.8.問題9

5.8.P9

有名な悪条件行列の例にヒルベルト行列 \(H_n\) がある（参照 0.9.12）。\(H_n\) は正規なのでスペクトルノルムに関する条件数は \(\kappa(H_n)=\rho(H_n)\rho(H_n^{-1})\) です。事実として \( \kappa(H_n)\sim e^{c n} \)（定数 \(c\approx 3.5\)）であり、\(\rho(H_n)=\pi+O(1/\log n)\) が成り立ちます。具体例として \(\kappa(H_3)\sim5\times10^2,\ \kappa(H_6)\sim1.5\times10^7,\ \kappa(H_8)\sim1.5\times10^{10}\) が挙げられます。

なぜ \(H_n\) の成分は有界で \(\rho(H_n)\) も大きくないにもかかわらず非常に悪条件なのか説明しなさい。

解説メモ：ヒルベルト行列は数値的に近似直交性を失うため小さな摂動で逆行列が大きくなり、条件数が指数的に増大します。