5.7.問題16
5.7.P16
\(n\ge 2\) とし、\(G(\cdot)\) を相似不変（similarity invariant）な Mn 上のセミノルム、つまり任意の正則 \(S\) について \(G(S A S^{-1})=G(A)\) を満たすものとします。以下を示してください。
(a) 任意の冪零行列 \(N\in M_n\) に対して \(G(N)=0\) を示し、したがって \(G(\cdot)\) はノルムになり得ないことを結論付けてください。
(b) 任意の \(A\in M_n\) について \(G(A)=n^{-1} G(I_n)\, | \mathrm{tr}\,A |\) が成り立つことを示してください。
解説メモ：相似不変性よりジョルダン標準形など冪零部分に対する値は 0 であること、さらにトレースに依存する形に制約されることを示し、(b) の比例関係を導きます。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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