[行列解析5.6.P12]

5.6.問題12

5.6.P12

\( A, B \in M_n \) および行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) が与えられているとする。なぜ \(\lVert AB \pm BA \rVert \le 2 \lVert A \rVert \lVert B \rVert\) が成り立つか？
より良い上界は、\( A \) および \( B \) が正定値半定値であり、スペクトルノルムを用いる場合に得られる。(a) \( A \) が半正定値なら \(\lVert A - \frac{1}{2} \lVert A \rVert_2 I \rVert_2 = \frac{1}{2} \lVert A \rVert_2\) を示せ。
(b) \(\alpha, \beta \in \mathbb{C}\) として、\(\lVert AB - BA \rVert = \lVert (A - \alpha I)(B - \beta I) - (B - \beta I)(A - \alpha I) \rVert \le 2 \lVert A - \alpha I \rVert \lVert B - \beta I \rVert\) を説明せよ。
(c) \(\alpha = \frac{1}{2} \lVert A \rVert_2\)、\(\beta = \frac{1}{2} \lVert B \rVert_2\) として、\( A, B \) が半正定値なら \(\lVert AB - BA \rVert_2 \le \frac{1}{2} \lVert A \rVert_2 \lVert B \rVert_2\) を結論せよ。