[行列解析5.6.P10]

5.6.問題10

5.6.P10

任意のノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が \(\mathbb{C}^n\) 上に与えられているとする。任意の行列 \( A = [a_1 \dots a_n] \in M_n \) を列に沿って分割し、次を定義する。

N_{\lVert \cdot \rVert}(A) = \max_{1 \le i \le n} \lVert a_i \rVert

(a) \( N_{\lVert \cdot \rVert}(\cdot) \) が \( M_n \) 上のノルムであることを示せ。
(b) \( N_{\lVert \cdot \rVert}(\cdot) \) が行列ノルムであるのは、すべての \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \(\lVert x \rVert \ge \lVert x \rVert_1\) が成り立つ場合に限ることを示せ。
(c) 各 \( i = 1,\dots,n \) に対して、\( d_i(A) = \lVert a_i \rVert \) （ただし \( a_i \neq 0 \)）、\( d_i(A) = 1 \) （\( a_i = 0 \) の場合）とし、

D_A = \mathrm{diag}(d_1(A), \dots, d_n(A))

と定義する。なぜ \( N_{\lVert \cdot \rVert}(AD_A^{-1}) \le 1 \) が成り立つか説明せよ。
(d) もし \( N_{\lVert \cdot \rVert}(\cdot) \) が行列ノルムなら、なぜ \(\rho(AD_A^{-1}) \le 1\)、\(|\det(AD_A^{-1})| \le 1\)、および \(|\det A| \le \det D_A = d_1(A) \cdots d_n(A)\) が成り立つか説明せよ。結論として、もし \( N_{\lVert \cdot \rVert}(\cdot) \) が行列ノルムであれば

|\det A| \le \lVert a_1 \rVert \cdots \lVert a_n \rVert

が成り立つ（注意：もし一部の \( a_i = 0 \) の場合はどうなるか）。
(e) \(\lVert \cdot \rVert = \lVert \cdot \rVert_1\) の場合、なぜ \( N_{\lVert \cdot \rVert_1}(A) = \lVert A \rVert_1 \) となるか説明し、次を導け。

|\det A| \le \lVert a_1 \rVert_1 \cdots \lVert a_n \rVert_1

(f) \(\lVert \cdot \rVert = n \lVert \cdot \rVert_\infty\) の場合、なぜ \( N_{n\lVert \cdot \rVert_\infty}(A) = n \lVert A \rVert_\infty \) となるか説明し、次を導け。

|\det A| \le n^n \lVert A \rVert_\infty^n

この境界を (2.3.P10) の場合と比較せよ。どちらが優れているか。
(g) \(\lVert \cdot \rVert = \lVert \cdot \rVert_2\) の場合、なぜ \( N_{\lVert \cdot \rVert_2}(A) \) は行列ノルムでないかを説明し、(d) の方法では次を導けないことを示せ。