[行列解析5.6.P5]

5.6.問題5

\( \lVert \!|\cdot|\! \rVert_p \) を、\( \mathbb{C}^n \) 上の \( l_p \)-ノルム (\( p \geq 1 \)) によって誘導される行列ノルムとする。(5.4.21) および (5.6.21) を用いて次を示せ。

\max_{A \neq 0} \frac{\lVert \!|A|\! \rVert_{p_1}}{\lVert \!|A|\! \rVert_{p_2}} = n^{\frac{1}{\min\{p_1,p_2\}} - \frac{1}{\max\{p_1,p_2\}}}

さらに、すべての \( A \in M_n \)、すべての \( p \geq 1 \) に対して次が成り立つことを導け。

n^{\frac{1}{p}-1} \lVert \!|A|\! \rVert_1 \leq \lVert \!|A|\! \rVert_p \leq n^{1-\frac{1}{p}} \lVert \!|A|\! \rVert_1

n^{\frac{1}{p}-\frac{1}{2}} \lVert \!|A|\! \rVert_2 \leq \lVert \!|A|\! \rVert_p \leq n^{\frac{1}{2}-\frac{1}{p}} \lVert \!|A|\! \rVert_2

n^{-\frac{1}{p}} \lVert \!|A|\! \rVert_{\infty} \leq \lVert \!|A|\! \rVert_p \leq n^{\frac{1}{p}} \lVert \!|A|\! \rVert_{\infty}