5.6.41
定理 5.6.41. \( \lVert \cdot \rVert \) を \( \mathbb{C}^n \) 上のノルム \( \lVert \cdot \rVert \) によって誘導される \(M_n\) 上の行列ノルムとする。このとき次が成り立つ：
(a) \(\lVert A^{*} \rVert = \max \{ |\mathrm{tr}(B^{*}A)| : \lVert B \rVert = 1 \ \text{かつ} \ \mathrm{rank}(B)=1 \}\)
(b) すべての \(A \in M_n\) に対して \(\lVert A^{*} \rVert \leq \lVert A \rVert^D\)
(c) \(\lVert A \rVert^D\) は行列ノルムである
(d) \(\mathrm{rank}(A) \leq 1\) のとき、\(\lVert A^{*} \rVert = \lVert A \rVert^D\)
証明.
(a) ある非零の \(x, y \in \mathbb{C}^n\) に対して \(B = xy^{*}\) とすると、式 (5.6.30) より \(\lVert B \rVert = \lVert xy^{*} \rVert = \lVert x \rVert \, \lVert y \rVert^D\) が成り立つ。このとき次を計算する：
\max_{\mathrm{rank}(B)=1} \frac{|\mathrm{tr}(B^{*}A)|}{\lVert B \rVert} \\
= \max_{x \neq 0, y \neq 0} \frac{|\mathrm{tr}(yx^{*}A)|}{\lVert x \rVert \lVert y \rVert^D} \\
= \max_{x \neq 0, y \neq 0} \frac{|x^{*}Ay|}{\lVert x \rVert \lVert y \rVert^D} \\
= \max_{\lVert \xi \rVert = \lVert \eta \rVert^D = 1} |\eta^{*}A^{*}\xi| \\
= \max_{\lVert \xi \rVert = 1} \lVert A^{*}\xi \rVert^D \\
= \lVert A^{*} \rVert
(b) 次を観察する：
\lVert A^{*} \rVert \\
= \max_{\mathrm{rank}(B)=1} \frac{|\mathrm{tr}(B^{*}A)|}{\lVert B \rVert} \\
\leq \max_{B \neq 0} \frac{|\mathrm{tr}(B^{*}A)|}{\lVert B \rVert} \\
= \lVert A \rVert^D
(c) この主張は(b)と定理 5.6.40 から直ちに従う。
(d) \(A = uv^{*}\) （非零 \(u, v \in \mathbb{C}^n\)）とする。式 (5.6.30) により \(\lVert A^{*} \rVert = \lVert v \rVert \lVert u \rVert^D\) となる。ここで \(\lVert A \rVert^D = \lVert v \rVert \lVert u \rVert^D\) を示す：
\lVert uv^{*} \rVert^D \\
= \max_{B \neq 0} \frac{|\mathrm{tr}(B^{*}uv^{*})|}{\lVert B \rVert} \\
= \max_{B \neq 0} \frac{|v^{*}B^{*}u|}{\lVert B \rVert} \\
= \max_{B \neq 0} \frac{|u^{*}Bv|}{\lVert B \rVert} \\
\leq \max_{B \neq 0} \frac{\lVert u \rVert^D \lVert Bv \rVert}{\lVert B \rVert} \\
\leq \lVert u \rVert^D \lVert v \rVert
最後に、\(B = xy^{*}\) を適切に選ぶことで等号が達成されることを示す。(5.5.9(d)) により次を満たすベクトル \(x, y\) を選ぶ：
(i) \(\lVert x \rVert = 1\) かつ \(x^{*}u = \lVert u \rVert^D\)
(ii) \(\lVert y \rVert^D = 1\) かつ \(y^{*}v = \lVert v \rVert\)
すると \(\lVert B \rVert = \lVert x \rVert \lVert y \rVert^D = 1\) であり、\(|u^{*}Bv| = |u^{*}x| \, |y^{*}v| = \lVert u \rVert^D \lVert v \rVert\) となる。よって \(\lVert A \rVert^D = \lVert v \rVert \lVert u \rVert^D\)。□
演習. \(M_n\) 上のノルム \(\lVert \cdot \rVert\) を考え、その随伴ノルムを \(\lVert \cdot \rVert^{\ast}\) とする。このとき各 \(A \in M_n\) に対して、その双対ノルムが \(\nu(A) = \lVert A^{*} \rVert^D\) であることを説明せよ。もし \(\lVert \cdot \rVert\) が誘導行列ノルムならば、\(\nu(A) = \lVert A^{*} \rVert^D\) が行列ノルムとなることを示せ。特に、\(\lVert \cdot \rVert\) が \(\lVert \cdot \rVert_1\) ノルムである場合、\(\nu(A)\) は何になるか。この構成は、新たに行列ノルムを作る別の方法を与える。すなわち、任意の誘導行列ノルムについて、その随伴の双対を取ればよい。
最後に、本定理は (5.6.36) の双対に相当するものである。
行列解析の総本山
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