[行列解析5.6.39]定理：双対ノルムにおける自己随伴性とユニタリ不変性

5.6.39

定理 5.6.39. \( \lVert \cdot \rVert \) を \(M_n\) 上のノルムとする。このとき次が成り立つ：

(a) \( \lVert \cdot \rVert \) が自己随伴であることと、\( \lVert \cdot \rVert^D \) が自己随伴であることは同値である。

(b) \( \lVert \cdot \rVert \) がユニタリ不変であることと、\( \lVert \cdot \rVert^D \) がユニタリ不変であることは同値である。

証明

いずれの場合も、「ならば (only if)」の含意は計算により従い、「逆 (if)」の含意は双対性定理 (5.5.9(c)) から従う。

(a) \( \lVert \cdot \rVert \) が自己随伴であると仮定する。このとき：

\lVert A^* \rVert^D = \max_{B \neq 0} \frac{| \mathrm{tr}(B^* A^*) |}{\lVert B \rVert} \\ = \max_{B \neq 0} \frac{| \mathrm{tr}(B A^*) |}{\lVert B^* \rVert} \\ = \max_{B \neq 0} \frac{| \mathrm{tr}(BA^*) |}{\lVert B \rVert} \\ = \max_{B \neq 0} \frac{| \mathrm{tr}((BA^*)^*) |}{\lVert B \rVert} \\ = \max_{B \neq 0} \frac{| \mathrm{tr}(AB^*) |}{\lVert B \rVert} \\ = \max_{B \neq 0} \frac{| \mathrm{tr}(B^* A) |}{\lVert B \rVert} \\ = \lVert A \rVert

(b) \( \lVert \cdot \rVert \) がユニタリ不変であると仮定する。任意のユニタリ行列 \(U, V \in M_n\) に対して：

\lVert UAV \rVert^D \\ = \max_{B \neq 0} \frac{| \mathrm{tr}(B^* UAV) |}{\lVert B \rVert} \\ = \max_{B \neq 0} \frac{| \mathrm{tr}((U^* B V^*)^* A) |}{\lVert B \rVert} \\ = \max_{C \neq 0} \frac{| \mathrm{tr}(C^* A) |}{\lVert UCV \rVert} \\ = \max_{C \neq 0} \frac{| \mathrm{tr}(C^* A) |}{\lVert C \rVert} \\ = \lVert A \rVert

演習問題 1

(非誘導型の) 行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert_1 \) の双対ノルムが \( \lVert \cdot \rVert_\infty \) であることを示せ。また、すべての \( A \in M_n \) に対して \(\lVert A^* \rVert_1 \leq \lVert A \rVert_1^D\) が成立しないこと、\(\lVert \cdot \rVert_1^D\) が行列ノルムではないこと、さらにすべての \(A, B \in M_n\) に対して \(\lVert AB \rVert_1^D \leq \lVert A^* \rVert_1 \lVert B \rVert_1^D\) が成り立つことを示せ。

ヒント： ベクトルノルム \( \lVert \cdot \rVert_1 \) の双対の計算 (5.4.15a) を復習せよ。

演習問題 2

\( \lVert \cdot \rVert \) を \(M_n\) 上のノルムとし、\(A \in M_n\) とする。このとき、ある \(X \in M_n\) が存在して \(\lVert X \rVert = 1\)、かつ \(| \mathrm{tr}(X^* A) | = \lVert A \rVert^D\) となることを説明せよ。任意の \(Y \in M_n\) で \(\lVert Y \rVert = 1\) を満たすとき、なぜ \(| \mathrm{tr}(Y^* A) | \leq \lVert A \rVert^D\) が成立するのかを説明せよ。