5.6.33
\lVert x \rVert_{z} = \lVert xz^{*} \rVert \quad \text{for any} \; x \in \mathbb{C}^n
定理 5.6.33.
\(M_{n}\) 上の行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) と、(5.6.27) で定義された \(\mathbb{C}^{n}\) 上のノルム \(\lVert \cdot \rVert_{z}\) を考える。このとき、次の2つの条件は同値である：
(a) 任意の非零ベクトル \(y, z \in \mathbb{C}^{n}\) に対して、正の定数 \(c_{yz}\) が存在し、任意の \(x \in \mathbb{C}^{n}\) に対して
\lVert x \rVert_{y} = c_{yz} \lVert x \rVert_{z}
(b) 任意の \(x, y, z \in \mathbb{C}^{n}\) に対して次が成り立つ：
\lVert x y^{*} \rVert \, \lVert z z^{*} \rVert
= \lVert x z^{*} \rVert \, \lVert z y^{*} \rVert
さらに、もし \(\lVert \cdot \rVert\) が \(\mathbb{C}^{n}\) 上のノルム \(\lVert \cdot \rVert_{D}\) によって誘導されているならば、次が成り立つ：
(c) \(\lVert \cdot \rVert\) は (a) および (b) を満たし、定数 \(c_{yz} = \lVert y \rVert_{D} / \lVert z \rVert_{D}\) であり、任意の非零 \(z \in \mathbb{C}^{n}\) に対して
\lVert x \rVert_{y}
= \lVert x y^{*} \rVert
= \frac{\lVert x z^{*} \rVert \, \lVert z y^{*} \rVert}{\lVert z z^{*} \rVert}
= \frac{\lVert x \rVert_{z} \, \lVert z \rVert_{y}}{\lVert z \rVert_{z}}
証明.
(a) を仮定する。\(y = 0\) または \(z = 0\) の場合 (b) は自明に成り立つので、ここでは \(y \neq 0, z \neq 0\) を仮定する。このとき
\lVert x z^{*} \rVert \, \lVert z y^{*} \rVert
= \lVert x \rVert_{z} \lVert z \rVert_{y}
= c_{yz}^{-1} \lVert x \rVert_{y} \, c_{yz} \lVert z \rVert_{z}
= \lVert x \rVert_{y} \lVert z \rVert_{z}
= \lVert x y^{*} \rVert \, \lVert z z^{*} \rVert
逆に (b) を仮定し、\(y \neq 0, z \neq 0\) の場合、(a) は \(c_{yz} = \lVert z y^{*} \rVert / \lVert z z^{*} \rVert\) として成り立つ。
もし \(\lVert \cdot \rVert\) が誘導ノルムであるならば、(5.6.30) により \(\lVert x \rVert_{y} = \lVert x \rVert \lVert y \rVert_{D}\)、\(\lVert x \rVert_{z} = \lVert x \rVert \lVert z \rVert_{D}\) である。計算すると (a) が \(\lVert x \rVert_{y} = \lVert y \rVert_{D} \lVert x \rVert_{z} / \lVert z \rVert_{D}\) として満たされ、したがって (b) も満たされる。
演習問題. 誘導ノルムの任意の正のスカラー倍は (5.6.33(b)) の恒等式を満たすことを示せ。行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert_{1}\) および \(\lVert \cdot \rVert_{2}\) がこの恒等式を満たすが、どちらも誘導ノルムのスカラー倍ではないことを示せ。
演習問題. 次の関数
\lVert A \rVert = \max \{ \lVert A \rVert_{1}, \lVert A \rVert_{\infty} \} \quad (5.6.33.1)
が \(M_{n}\) 上のユニタル行列ノルムであることを説明せよ。
(5.6.2) で見たように、すべての誘導行列ノルムはユニタルである。しかし (5.6.33.1) のノルムは誘導ノルムではない。すなわち、任意の \(A \in M_{n}\) に対して \(\lVert A \rVert_{1} \leq \lVert A \rVert\) であるが、例えば
A_{0} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}
に対しては \(\lVert A_{0} \rVert_{1} \lt \lVert A_{0} \rVert\) となる。したがって \(\lVert \cdot \rVert\) は最小ノルムではなく、誘導ノルムではあり得ない。(5.6.P7) を参照すれば (5.6.33.1) の構成の一般化が与えられる。
\(M_{n}\) 上のノルム \(\lVert \cdot \rVert\) （必ずしも行列ノルムでなくてもよい）がユニタリ不変であるとは、任意の \(A \in M_{n}\) と任意のユニタリ行列 \(U, V \in M_{n}\) に対して
\lVert A \rVert = \lVert U A V \rVert
が成り立つことをいう。ユニタリ不変行列ノルムとは、ユニタリ不変ノルムであり、かつ劣乗法性（submultiplicativity）を満たすノルムのことである。フロベニウスノルムとスペクトルノルムはユニタリ不変行列ノルムであるが、フロベニウスノルムは誘導ノルムではない。
行列解析の総本山
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