[行列解析5.6.32]定理: 誘導行列ノルムと最小行列ノルムの同値性

5.6.32

(5.6.27)

\lVert x \rVert_{z} = \lVert xz^{*} \rVert \quad \text{for any} \; x \in \mathbb{C}^n

定理 5.6.32.

\(M_{n}\) 上に行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が与えられているとする。非零の \(z \in \mathbb{C}^{n}\) に対して、(5.6.27) および (5.6.28) で定義された誘導行列ノルムを \(N_{z}(\cdot)\) とする。このとき、次の条件は同値である：

(a) \( \lVert \cdot \rVert \) は誘導行列ノルムである。

(b) \( \lVert \cdot \rVert \) は最小行列ノルムである。

(d) \( \lVert \cdot \rVert = N_{z}(\cdot) \) がある非零 \(z \in \mathbb{C}^{n}\) に対して成り立つ。

証明.

(a) ⇒ (b) は (5.6.26(c)) から従う。(b) ⇒ (c) は (5.6.26(b)) である。(c) ⇒ (d) ⇒ (a) は自明である。

これらの観察からさらにいくつかの事実が得られる。もし \( \lVert \cdot \rVert \) が行列ノルムであり、任意の非零 \(y, z \in \mathbb{C}^{n}\) に対して \(N_{y}(\cdot) = N_{z}(\cdot)\) が成り立つならば、(5.6.23) における (c) ⇒ (b) の含意により、正の定数 \(c_{yz}\) が存在して、すべての \(x \in \mathbb{C}^{n}\) に対して次が成り立つ：

\lVert x \rVert_{y} = c_{yz} \lVert x \rVert_{z}

例えば、もし \( \lVert \cdot \rVert \) が誘導行列ノルムであるならば、上の定理により \(N_{z}(\cdot)\) は \(z\) に依存せず、次の演習問題が定数 \(c_{yz}\) を同定する。

演習問題.

もし \( \lVert \cdot \rVert \) が \(\mathbb{C}^{n}\) 上のノルム \(\lVert \cdot \rVert_{D}\) により誘導されるならば、\(c_{yz} = \lVert y \rVert_{D} / \lVert z \rVert_{D}\) を示せ。ヒント: (5.6.30)。