[行列解析5.6.23]補題：誘導ノルムにおける等価条件

5.6.23

\(\mathbb{C}^n\) 上のノルム \(\lVert \cdot \rVert_{\alpha}\) および \(\lVert \cdot \rVert_{\beta}\) と、それぞれの誘導行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert_{\alpha}\) および \(\lVert \cdot \rVert_{\beta}\) を \(\mathbb{M}_n\) 上で考えると、次が成立する：

(5.6.24)

R_{\alpha\beta} R_{\beta\alpha} \ge 1

さらに、次の条件は同値である：

(a) \(R_{\alpha\beta} R_{\beta\alpha} = 1\)

(b) ある \(c > 0\) が存在して、すべての \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(\lVert x \rVert_{\alpha} = c \lVert x \rVert_{\beta}\) が成り立つ。

証明：次を観察する：

R_{\beta\alpha} = \max_{x \neq 0} \frac{\lVert x \rVert_{\beta}}{\lVert x \rVert_{\alpha}} \\ = \left( \min_{x \neq 0} \frac{\lVert x \rVert_{\alpha}}{\lVert x \rVert_{\beta}} \right)^{-1} \\ \ge \left( \max_{x \neq 0} \frac{\lVert x \rVert_{\alpha}}{\lVert x \rVert_{\beta}} \right)^{-1} \\ = \frac{1}{R_{\alpha\beta}}

等号が成立するのは、すべての非ゼロベクトル \(x\) に対して \(\lVert x \rVert_{\alpha}/\lVert x \rVert_{\beta}\) が一定のときである。したがって、(a) と (b) は同値である。

もし \(\lVert \cdot \rVert_{\alpha} = c \lVert \cdot \rVert_{\beta}\) なら、任意の \(A \in \mathbb{M}_n\) に対して次が成り立つ：

\lVert A \rVert_{\alpha} = \max_{x \neq 0} \frac{\lVert A x \rVert_{\alpha}}{\lVert x \rVert_{\alpha}} \\ = \max_{x \neq 0} \frac{c \lVert A x \rVert_{\beta}}{c \lVert x \rVert_{\beta}} \\ = \max_{x \neq 0} \frac{\lVert A x \rVert_{\beta}}{\lVert x \rVert_{\beta}} \\ = \lVert A \rVert_{\beta}

したがって (b) ⇒ (c)。最後に、\(\lVert \cdot \rVert_{\alpha} = \lVert \cdot \rVert_{\beta}\) の場合、(5.6.20) より \(R_{\alpha\beta} R_{\beta\alpha} = 1\) であり、(c) ⇒ (a) が成立する。